Question

20．已知圓C：x²+y²-6y+8=0，O為原點(diǎn)．
（1）求過點(diǎn)O的且與圓C相切的直線l的方程；
（2）若P是圓C上的一動(dòng)點(diǎn)，M是OP的中點(diǎn)，求點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)過原點(diǎn)O的圓C的切線方程為y=kx，與圓的方程聯(lián)立，利用△=0，即可求過點(diǎn)O的且與圓C相切的直線l的方程；
（2）若P是圓C上的一動(dòng)點(diǎn)，M是OP的中點(diǎn)，利用圓的參數(shù)方程，即可求點(diǎn)M的軌跡方程．

解答 解：（1）設(shè)過原點(diǎn)O的圓C的切線方程為y=kx．
y=kx代入x²+y²-6y+8=0，可得（k²+1）x²-6kx+8=0
∵直線與圓相切，方程有兩相等的實(shí)數(shù)根，
∴（-6k）²-4（k²+1）×8=0
整理，得k²=8，∴k=±2$\sqrt{2}$，
∴過原點(diǎn)O的圓C的切線方程為y=$±2\sqrt{2}$x；
（2）x²+y²-6y+8=0，即x²+（y-3）²=1，
設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)（cosα，3+sinα），點(diǎn)M坐標(biāo)（x，y），則cosα=2x，y，sinα=2y-3．
∵cos²α+sin²α=1，∴（2x）²+（2y-3）²=1，這就是所求的點(diǎn)M的軌跡方程，是一個(gè)圓．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查軌跡方程，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．