Question

如圖，拋物線C₁：y²=4x和圓C₂：（x-1）²+y²=1，直線l經(jīng)過C₁的焦點F，依次交C₁，C₂于A，B，C，D四點，則

AB

•

CD

的值是

 

．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,平面向量數(shù)量積的運算

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由題意可知直線l的斜率存在且不等于0，設出直線方程，分別和拋物線與題意方程聯(lián)立后求出A，B，C，D的坐標，求出向量

AB

、

CD

的坐標，代入數(shù)量積公式得答案．

解答： 解：由題意可知直線l的斜率存在且不等于0，
由拋物線C₁：y²=4x，得F（1，0），
則直線l的方程為y-0=k（x-1），即y=kx-k．
聯(lián)立

y=kx-k y2=4x

，得k²x²-2k²x-4x+k²=0，
解得：A(1+

2

k2

-

2 k2+1

k2

，

2

k

-

2 k2+1

k

)，D(1+

2

k2

+

2 k2+1

k2

，

2

k

+

2 k2+1

k

)，
聯(lián)立

y=kx-k (x-1)2+y2=1

，得B（1-

1

k2+1

，-

k

k2+1

），C（1+

1

k2+1

，

k

k2+1

），

AB

=(-

1

k2+1

-

2

k2

+

2 k2+1

k2

，-

k

k2+1

-

2

k

+

2 k2+1

k

)，

CD

=(

2

k2

+

2 k2+1

k2

-

1

k2+1

，

2

k

+

2 k2+1

k

-

k

k2+1

)．
∴

AB

•

CD

=1．
故答案為：1．

點評：本題考查了直線與圓錐曲線的關系，考查了平面向量的數(shù)量積運算，考查了學生的計算能力，是中檔題．