Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）求使方程存在兩個實數(shù)解時，的取值范圍；

（2）設(shè)，函數(shù)，.若對任意，總存在，使得，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，求得，，，利用可得結(jié)果；（2）由（1）知，設(shè)的值域為，因為對任意，總存在，使得，等價于.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出的值域，根據(jù)包含關(guān)系列不等式求解即可,

（1）.

令，得；令，得，

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以，又，，

要使方程存在兩個實數(shù)解，則，

解得.

（2）由（1）知，設(shè)的值域為，因為對任意，總存在，使得，所以.

因為，所以，

當時，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，

又，不可能滿足.

當時，由于，

若，即，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

，又，，要使，則必須有，化簡得，解得，又，所以.

若，即，在上單調(diào)遞減，不可能滿足.

綜上，實數(shù)的取值范圍為.