Question

設(shè)a∈R，f（x）=

a•2x+a-2

2x+1

（x∈R）是奇函數(shù)，
（1）求a的值；
（2）解不等式f（1-5x）+f（6x²）＞0．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的定義域是R且是奇函數(shù)，得f（0）=0可求得實(shí)數(shù)a的值；
（2）將解析式分離常數(shù)后判斷出單調(diào)性，再利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的奇偶性將不等式轉(zhuǎn)化為：f（1-5x）＞-f（6x²）=f（-6x²），然后利用單調(diào)性解不等式．

解答： 解：（1）∵f(x)=

a•2x+a-2

2x+1

的定義域?yàn)镽，且是奇函數(shù)，
∴f（0）=

a+a-2

2+1

=0，解得a=1，
（2）由（1）得，f(x)=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，
∴f(x)=1-

2

2x+1

在R上單調(diào)遞增函數(shù)，
證明如下：設(shè)x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=1-

2

2x1+1

-(1-

2

2x2+1

)
=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
即f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)，
由f（1-5x）+f（6x²）＞0得，f（1-5x）＞-f（6x²）=f（-6x²），
∴1-5x＞-6x²，即6x²-5x+1＞0，
解得x＞

1

2

或x＜

1

3

，
故不等式的解集為：{x|x＞

1

2

或x＜

1

3

}．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的綜合應(yīng)用，利用函數(shù)的奇偶性將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．