Question

8．若函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)滿足：
（1）對(duì)于任意不相等的x₁，x₂，有x₁f（x₂）+x₂f（x₁）＞x₁f（x₁）+x₂f（x₂）；
（2）存在正數(shù)M，使得|f（x）|≤M，則稱函數(shù)f（x）為“單通道函數(shù)”，給出以下4個(gè)函數(shù)：
①f（x）=sin（x+$\frac{x}{4}$）+cos（x+$\frac{π}{4}$），x∈（0，π）；
②g（x）=lnx+e^x，x∈[1，2]；
③h（x）=x³-3x²，x∈[1，2]；
④φ（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{2}^{x}，-1≤x＜0}\\{lo{g}_{\frac{1}{2}}（x+1）-1，0＜x≤1}\end{array}\right.$，其中，“單通道函數(shù)”有①③④．

Answer 1

分析 分析條件（1），得出函數(shù)f（x）是單調(diào)減函數(shù)，條件（2）f（x）是有界函數(shù)；
再分析命題①②③④，得出滿足條件①③④的函數(shù)即可．

解答 解：（1）對(duì)于任意不相等的x₁，x₂，有x₁f（x₂）+x₂f（x₁）＞x₁f（x₁）+x₂f（x₂）；
即不等式（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0恒成立，所以函數(shù)f（x）是定義在I上的單調(diào)減函數(shù)；
（2）存在正數(shù)M，使得|f（x）|≤M，即-M≤f（x）≤M；
對(duì)于①，f（x）=sin（x+$\frac{x}{4}$）+cos（x+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$cosx，
在x∈（0，π）時(shí)，f（x）是單調(diào)減函數(shù)，且|f（x）|≤$\sqrt{2}$，是“單通道函數(shù)”；
對(duì)于②，g（x）=lnx+e^x，在x∈[1，2]上是單調(diào)增函數(shù)，不滿足（1），不是“單通道函數(shù)”；
對(duì)于③，h（x）=x³-3x²，∴h′（x）=3x²-6x=3x（x-2），∴x∈[1，2]時(shí)，h′（x）≤0，h（x）是單調(diào)減函數(shù)，且h（1）=-2，h（2）=-4，∴-4≤h（x）≤-2，∴|h（x）|≤4，∴h（x）是[1，2]上的“單通道函數(shù)”；
④φ（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{2}^{x}，-1≤x＜0}\\{lo{g}_{\frac{1}{2}}（x+1）-1，0＜x≤1}\end{array}\right.$，x∈[-1，0]時(shí)，φ（x）=-2^x是單調(diào)減函；x∈[0，1]時(shí)，φ（x）是單調(diào)減函數(shù)，φ（x）的最大值為-$\frac{1}{2}$，最小值為：-2，得|φ（x）|≤2，
∴φ（x）是[-1，1]上的“單通道函數(shù)”；
故答案為：①③④

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性和有界性的應(yīng)用問題，及分析問題的能力，將條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性的形式是解決本題的關(guān)鍵．屬于難題．