Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

x-a

（a∈R）．若存在b∈[0，1]，使f（f（b））=b成立，則a的取值范圍是（　�。�

• A、[0，

  1

  4

  ]
• B、[1，2]
• C、[0，1]
• D、[

  1

  4

  ，1]

Answer 1

考點(diǎn)：冪函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)的值

專題：

分析：根據(jù)函數(shù)式子得出：存在b∈[0，1]，使f（b）=f^-1（b）”，
即可判斷出y=f（x）的圖象與函數(shù)y=f^-1（x）的圖象有交點(diǎn)，
y=f（x）的圖象與函數(shù)y=f^-1（x）的圖象的交點(diǎn)必定在直線y=x上，
轉(zhuǎn)化為根據(jù)

x-a

=x，化簡(jiǎn)整理得x-a=x²．x∈[0，1]，
即a=x-x²，x∈[0，1]，利用二次函數(shù)性質(zhì)求解即可．

解答： 解：由f（f（b））=b，可得f（b）=f^-1（b），
其中f^-1（x）是函數(shù)f（x）的反函數(shù)
因此命題“存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立”，轉(zhuǎn)化為
“存在b∈[0，1]，使f（b）=f^-1（b）”，
即y=f（x）的圖象與函數(shù)y=f^-1（x）的圖象有交點(diǎn)，
且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)b∈[0，1]，
∵y=f（x）的圖象與y=f^-1（x）的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，
∴y=f（x）的圖象與函數(shù)y=f^-1（x）的圖象的交點(diǎn)必定在直線y=x上，
由此可得，y=f（x）的圖象與直線y=x有交點(diǎn)，且交點(diǎn)橫坐標(biāo)b∈[0，1]，
根據(jù)

x-a

=x，化簡(jiǎn)整理得x-a=x²．x∈[0，1]，
即a=x-x²，x∈[0，1]，
∴根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出：0≤a≤

1

4

即實(shí)數(shù)a的取值范圍為[0，

1

4

]．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題給出含有根號(hào)與指數(shù)式的基本初等函數(shù)，在存在b∈[1，e]使f（f（b））=b成立的情況下，求參數(shù)a的取值范圍．著重考查了基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理和互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象特征等知識(shí)，屬于中檔題