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17.在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓E:x2a2+y22=1(a>b>0)的離心率為32,F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn),過點(diǎn)F任作一條直線l1,交橢圓E于A,B兩點(diǎn),當(dāng)l1垂直于x軸時,|AB|=1.
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過F再作一條直線l2,使得l1⊥l2,且l2交橢圓于C,D兩點(diǎn),試問1|AF|+1|BF|+1|CF|+1|DF|是否為定值,說明理由.

分析 (1)運(yùn)用橢圓的離心率公式和橢圓的焦點(diǎn)弦長,以及a,b,c的關(guān)系,解方程可得a,b,進(jìn)而得到橢圓方程;
(2)由F(3,0),令直線AB的方程為\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.(t為參數(shù)),代入橢圓方程,運(yùn)用韋達(dá)定理,以及t的幾何意義,可得\frac{1}{|AF|}+\frac{1}{|BF|}=\frac{1}{|{t}_{1}|}+\frac{1}{|{t}_{2}|}=|\frac{{t}_{1}-{t}_{2}}{{t}_{1}{t}_{2}}|=4;由于l1⊥l2,可將α換為α+\frac{π}{2},即可得到所求定值.

解答 解:(1)由題意可得e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2},
由F(c,0),令x=c,可得y=±\sqrt{1-\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}\frac{^{2}}{a},
即有\frac{2^{2}}{a}=1,a2-c2=b2,
解得a=2,b=1,
即有橢圓方程為\frac{{x}^{2}}{4}+y2=1;
(2)由F(\sqrt{3},0),令直線AB的方程為\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.(t為參數(shù)),
代入橢圓方程,可得(cos2α+4sin2α)t2+2\sqrt{3}cosαt-1=0,
可得t1+t2=-\frac{2\sqrt{3}cosα}{co{s}^{2}α+4si{n}^{2}α}=-\frac{2\sqrt{3}cosα}{1+3si{n}^{2}α},t1t2=-\frac{1}{1+3si{n}^{2}α},
|t1-t2|=\sqrt{({t}_{1}+{t}_{2})^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}=\sqrt{\frac{12co{s}^{2}α}{(1+3si{n}^{2}α)^{2}}+\frac{4}{1+3si{n}^{2}α}}=\frac{4}{1+3si{n}^{2}α}
則有\frac{1}{|AF|}+\frac{1}{|BF|}=\frac{1}{|{t}_{1}|}+\frac{1}{|{t}_{2}|}=|\frac{{t}_{1}-{t}_{2}}{{t}_{1}{t}_{2}}|=4;
由于l1⊥l2,可將α換為α+\frac{π}{2},可得\frac{1}{|CF|}+\frac{1}{|DF|}=4.
即有\frac{1}{|AF|}+\frac{1}{|BF|}+\frac{1}{|CF|}+\frac{1}{|DF|}為定值8.

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程的求法,注意運(yùn)用離心率公式和a,b,c的關(guān)系,考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立,注意運(yùn)用直線的參數(shù)方程和參數(shù)的幾何意義,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.

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