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2.已知實(shí)數(shù)a、b都是常數(shù),若函數(shù)y=a|x1|x+2+be2x-1的圖象在切點(diǎn)(0,12)處的切線方程為3x+4y-2=0,y=a|x1|x+2+be2x-1與y=k(x-1)3的圖象有三個(gè)公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(-∞,-14)∪(0,+∞).

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出a,b的值,利用數(shù)形結(jié)合判斷兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)進(jìn)行求解即可.

解答 解:當(dāng)x<1時(shí),函數(shù)y=a|x1|x+2+be2x-1=a1xx+2+be2x-1
則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)=3ax+22+2be2x-1,
∵若函數(shù)y=a|x1|x+2+be2x-1的圖象在切點(diǎn)(0,12)處的切線方程為3x+4y-2=0,
∴f(0)=12,且f′(0)=34
{a2+e=123a4+2be=34,得a=1,b=0,
即y=a|x1|x+2+be2x-1=|x1|x+2,
|x1|x+2=k(x-1)3得當(dāng)x=1時(shí),方程成立,
當(dāng)x≠1時(shí),
若x>1得x1x+2=k(x-1)31x+2=k(x-1)2,
若x<1得-x1x+2=k(x-1)3得-1x+2=k(x-1)2,
若k=0,則兩個(gè)方程無(wú)解,
若k>0時(shí),作出對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象如圖:此時(shí)滿足當(dāng)x>1時(shí),有一個(gè)交點(diǎn),
當(dāng)x<1時(shí),有一個(gè)交點(diǎn),此時(shí)滿足兩個(gè)函數(shù)共有3個(gè)交點(diǎn).

若k<0時(shí),作出對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象如圖:此時(shí)滿足當(dāng)x>1時(shí),沒(méi)有交點(diǎn),
當(dāng)x<1時(shí),則需要有2個(gè)交點(diǎn),
由-1x+2=k(x-1)2,得k(x+2)(x-1)2+1=0,x<1,
設(shè)g(x)=k(x+2)(x-1)2+1,
則g′(x)=3k(x-1)(x+1),x<1,k<0,
由g′(x)=0,x=-1,
當(dāng)x<-1時(shí),g′(x)<0,
當(dāng)-1<x<1時(shí),g′(x)>0,
即當(dāng)x=-1函數(shù)取得極小值g(-1)=4k+1,
要使當(dāng)x<1時(shí),則g(x)要有2個(gè)交點(diǎn),
則極小值g(-1)=4k+1<0,得k<-14,
此時(shí)滿足兩個(gè)函數(shù)共有3個(gè)交點(diǎn).

綜上k的取值范圍是k>0或k<0,
故答案為:(-∞,-14)∪(0,+∞).

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出a,b的值,利用數(shù)形結(jié)合作出兩個(gè)函數(shù)的圖象,利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.

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