Question

設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=2x²+（x-a）|x-a|．
（Ⅰ）若f（1）≥3，求a的取值范圍；
（Ⅱ）求f（x）的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由條件解絕對(duì)值不等式，求得a的范圍．
（Ⅱ）分x≥a和x＜a兩種情況來討論去絕對(duì)值，再對(duì)每一段分別求最小值，借助二次函數(shù)的對(duì)稱軸及單調(diào)性，最后綜合即可求得f（x）的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=2x²+（x-a）|x-a|，
由f（1）=2+（1-a）|1-a|≥3，求得 （1-a）|1-a|≥1，
∴

1-a＞0 (1-a)2≥1

，求得a≤0．
（Ⅱ）當(dāng)x≥a時(shí)，f（x）=3x²-2ax+a²，=，∴f（x）_min=

f(a)=2a2，a≥0 f( a 3 )= 2 3 •a2，a＜0

，如圖所示：

當(dāng)x≤a時(shí)，f（x）=x²+2ax-a²，
∴f（x）_min=

f(-a)=-2a2，a≥0 f(a)=2a2，a＜0

，如圖所示：

綜上所述：f（x）_min=

-2a2，a≥0 2 3 •a2，a＜0

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了分段函數(shù)的最值問題，分段函數(shù)的最值的求法是先對(duì)每一段分別求最值，最后綜合最大的為整個(gè)函數(shù)的最大值，最小的為整個(gè)函數(shù)的最小值，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．