Question

已知關(guān)于x的不等式|2m-1|≤1的整數(shù)解有且僅有一個值1．
（1）求整數(shù)m的值；
（2）已知a，b，c均為正數(shù)，若2a+2b+2c=m，求

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

的最小值．

Answer 1

考點：基本不等式,絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：（1）由關(guān)于x的不等式：|2x-m|≤1 可解得

m-1

2

≤x≤

m+1

2

．由于整數(shù)解有且僅有一個值為1，可得

0＜ m-1 2 ≤1 1≤ m+1 2 ＜2

，解出即可．
（2）由2a+2b+2c=m得a+b+c=1．利用基本不等式的性質(zhì)可得

a2

b

+b≥2a，

b2

c

+c≥2c，

c2

a

+a≥2c，即可得出．

解答： 解：（1）由關(guān)于x的不等式：|2x-m|≤1 可得-1≤2x-m≤1，
解得 

m-1

2

≤x≤

m+1

2

．
由于整數(shù)解有且僅有一個值為1，
∴

0＜ m-1 2 ≤1 1≤ m+1 2 ＜2

，∴1＜m＜3．
故整數(shù)m的值為 2． 
（2）由2a+2b+2c=m得a+b+c=1．
∵

a2

b

+b≥2a，

b2

c

+c≥2c，

c2

a

+a≥2c，
∴

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

+(a+b+c)≥2(a+b+c)，即

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

≥a+b+c
∴

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

≥1，當且僅當a=b=c時取等號
故

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

的最小值為1．

點評：本題考查了基本不等式的性質(zhì)、絕對值不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．