2．已知f（x）是一個定義在（0，+∞）上的函數(shù)，當(dāng)x＞1時，f（x）＞0，且對于（0，+∞）上的任意兩個實數(shù)a、b，有f（a）+f（b）=f（ab）．
（1）求f（1）的值；
（2）求證：f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．

分析 （1）令a=b=1得f（1）=2f（1），f（1）=0．
（2）（2）設(shè)x1＞x2＞0，f（x1）-f（x2）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）＞0可證．

解答 解：（1）令a=b=1得f（1）=2f（1），∴f（1）=0．，∴f（1）=0．
（2）設(shè)x1＞x2＞0，則f（x1）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}•{x}_{2}$）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）+f（x2）
∴f（x1）-f（x2）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$），∵x1＞x2＞0，∴$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}＞1$⇒f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）＞0
即f（x1）-f（x2）＞0．
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．

點評 本題考查了抽象函數(shù)單調(diào)性的判定及賦值法，屬于基礎(chǔ)題．，屬于中檔題

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

12．下列各組函數(shù)中，表示同一個函數(shù)的是（　　）
A．f（x）=2x+1與g（x）=$\frac{2{x}^{2}+x}{x}$B．y=x-1與y=$\frac{{x}^{2}-1}{x+1}$
C．y=$\frac{{x}^{2}-9}{x-3}$與y=x+3D．f（x）=1與g（x）=1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

13．橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的兩個焦點與F1、F2，若P為其上一點，則|PF1|=2|PF2|，則橢圓離心離的取值范圍為[$\frac{1}{3}$，1）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

10．已知函數(shù)$f（x）=4cosωxcos（ωx+\frac{π}{3}），（ω＞0）$的最小正周期為π．
（1）求ω的值；  
（2）討論f（x）在區(qū)間$[{0，\frac{5π}{6}}]$上的單調(diào)性．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

17．二次函數(shù)y=f（x）滿足f（2-x）=f（2+x），f（1）＞f（0），若f（a）≥f（0），則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�
A．a≥0B．a≤0C．0≤a≤4D．a≤0或a≥4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

7．集合M={x|mx2+x+2=0，x∈R}中至多只有一個元素，則實數(shù)m的取值范圍是{m|m≥$\frac{1}{8}$，或m=0}．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

14．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{a}-\frac{1}{x}，x∈（{0，+∞}）$
（1）求證f（x）在（0，+∞）上遞增
（2）若f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]，求實數(shù)a的取值范圍
（3）當(dāng)f（x）≤2x在（0，+∞）上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

11．已知θ是鈍角，且$sinθ=\frac{1}{3}$，則$cos（{\frac{π}{2}+2θ}）$的值為$\frac{{4\sqrt{2}}}{9}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

12．已知偶函數(shù)f（x）在[1，4]上是單調(diào)增函數(shù)，則f（-π）＞$f（{{{log}_2}\frac{1}{8}}）$．（填“＞”或“＜”或“=”）

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