Question

13．橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的兩個(gè)焦點(diǎn)與F1、F2，若P為其上一點(diǎn)，則|PF₁|=2|PF₂|，則橢圓離心離的取值范圍為[$\frac{1}{3}$，1）．

Answer 1

分析 由已知結(jié)合橢圓的定義求得|PF₂|=$\frac{2}{3}a$，結(jié)合橢圓上的所有點(diǎn)中到右焦點(diǎn)距離最近的點(diǎn)是右頂點(diǎn)，最遠(yuǎn)的點(diǎn)是左頂點(diǎn)列式求得橢圓離心離的取值范圍．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}{|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|=2a}\\{|P{F}_{1}|=2|P{F}_{2}|}\end{array}\right.$，解得|PF₂|=$\frac{2}{3}a$，
∵a-c≤|PF₂|≤a+c，∴a-c$≤\frac{2}{3}a≤a+c$，解得$\frac{c}{a}≥\frac{1}{3}$，
又e∈（0，1），
∴橢圓離心離的取值范圍為[$\frac{1}{3}$，1）．
故答案為：[$\frac{1}{3}$，1）．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查橢圓的定義的應(yīng)用，明確橢圓上的所有點(diǎn)中到右焦點(diǎn)距離最近的點(diǎn)是右頂點(diǎn)，最遠(yuǎn)的點(diǎn)是左頂點(diǎn)是解答該題的關(guān)鍵，是中檔題．