3.已知橢圓E:$\frac{x^2}{a^2}+{y^2}$=1(常數(shù)a>1),過點(diǎn)A(-a,0)且以t為斜率的直線與橢圓E交于點(diǎn)B,直線BO交橢圓E于點(diǎn)C(O坐標(biāo)原點(diǎn)).
(1)求以t為自變量,△ABC的面積S(t)的函數(shù)解析式;
(2)若$a=2,t∈[{\frac{1}{2},1}]$,求S(t)的最大值.

分析 (1)由題意可知:設(shè)直線AB的方程為:y=t(x+a),代入橢圓方程,求得(a2t2+1)y2-2aty=0,即可求得B的縱坐標(biāo),由三角形的面積公式可知:$S(t)={S_{△ABC}}=2{S_{△AOB}}=|{OA}|•{y_B}=\frac{{2{a^2}t}}{{{a^2}{t^2}+1}}({t>0,a>1})$;
(2)由(1)可知:當(dāng)a=2時(shí),$S(t)=\frac{8t}{{4{t^2}+1}}=\frac{8}{{4t+\frac{1}{t}}}$,由$t∈[{\frac{1}{2},1}]$,根據(jù)基本不等式的性質(zhì)可知$4t+\frac{1}{t}≥2\sqrt{4t•\frac{1}{t}}=4$,即可求得S(t)的最大值.

解答 解:(1)由題意可知:過點(diǎn)A(-a,0)且以t為斜率的直線與橢圓E交于點(diǎn)B,設(shè)直線AB的方程為:y=t(x+a),
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=t({x+a})}\\{\frac{x^2}{a^2}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$,整理得:(a2t2+1)y2-2aty=0,
∴y=0或$y=\frac{2at}{{{a^2}{t^2}+1}}$,則點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為${y_B}=\frac{2at}{{{a^2}{t^2}+1}}$,
∴$S(t)={S_{△ABC}}=2{S_{△AOB}}=|{OA}|•{y_B}=\frac{{2{a^2}t}}{{{a^2}{t^2}+1}}({t>0,a>1})$.
(2)當(dāng)a=2時(shí),$S(t)=\frac{8t}{{4{t^2}+1}}=\frac{8}{{4t+\frac{1}{t}}}$,
∵$t∈[{\frac{1}{2},1}]$,
∴$4t+\frac{1}{t}≥2\sqrt{4t•\frac{1}{t}}=4$,
當(dāng)且僅當(dāng)$4t=\frac{1}{t},t=\frac{1}{2}$時(shí),上式等號(hào)成立,
∴$S(t)=\frac{8}{{4t+\frac{1}{t}}}≤\frac{8}{4}=2$,
即S(t)的最大值S(t)max=2.

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的幾何性質(zhì),考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查焦點(diǎn)三角形的面積公式與基本不等式的綜合應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.

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14.已知函數(shù)f(x)=$\frac{1}{a}-\frac{1}{x},x∈({0,+∞})$
(1)求證f(x)在(0,+∞)上遞增
(2)若f(x)在[m,n]上的值域是[m,n],求實(shí)數(shù)a的取值范圍
(3)當(dāng)f(x)≤2x在(0,+∞)上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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11.已知θ是鈍角,且$sinθ=\frac{1}{3}$,則$cos({\frac{π}{2}+2θ})$的值為$\frac{{4\sqrt{2}}}{9}$.

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A.2x+y+2=0B.2x+y-5=0C.x+2y-2=0D.x-2y+7=0

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零件的個(gè)數(shù)x(個(gè))2345
加工的時(shí)間y(小時(shí))2.5344.5
(1)求出y關(guān)于x的線性回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat$x+$\widehat{a}$;
(2)試預(yù)測(cè)加工10個(gè)零件需要多少小時(shí)?
(參考公式:$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})({y}_{i}-\overline{y})}{\sum_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-x{\overline{x}}^{2}}$;$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$;)

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12.已知偶函數(shù)f(x)在[1,4]上是單調(diào)增函數(shù),則f(-π)>$f({{{log}_2}\frac{1}{8}})$.(填“>”或“<”或“=”)

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13.若冪函數(shù)y=(m2-3m+3)x${\;}^{{m}^{2}-m-2}$的圖象不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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