Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=

(n+2) a 2 n -nan+n+1

a 2 n +1

（n∈N^*），S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和．
（1）若a₁=1，求a₂，a₃，a₄并推證數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若a₁∈[

1

2

，

3

2

]，求證：|S_n-

n(n+1)

2

|＜1（n∈N^*）．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由于a_n+1=

(n+2) a 2 n -nan+n+1

a 2 n +1

（n∈N^*），a₁=1，可得a₂=2，a₃=3，a₄=4．猜想a_n=n．用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．
（2）由于a_n+1-（n+1）=

(n+2) a 2 n -nan+n+1

a 2 n +1

-（n+1）=

an

a 2 n +1

（a_n-n），|a_n+1-（n+1）|=|

an

a 2 n +1

||an-n|．當(dāng)a_n≠0時，當(dāng)a_n=0時，|

an

a 2 n +1

|≤

1

2

．可得|an+1-(n+1)|≤

1

2

|an-n|，而|a1-1|≤

1

2

．|a_n-n|≤

1

2

|an-1-(n-1)|≤…≤(

1

2

)n-1|a1-1|≤(

1

2

)n．利用|S_n-

n(n+1)

2

|=|（a₁-1）+（a₂-2）+…+（a_n-n）|≤|a₁-1|+|a₂-2|++…+|a_n-n|，即可證明．

解答： （1）解：∵a_n+1=

(n+2) a 2 n -nan+n+1

a 2 n +1

（n∈N^*），a₁=1，
∴a₂=2，a₃=3，a₄=4．
猜想a_n=n．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．
當(dāng)n=1時，成立；
假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*）時，a_k=k．
則當(dāng)n=k+1時，a_k+1=

(k+2)k2-k2+k+1

k2+1

=k+1．
∴當(dāng)n=k+1時，也成立．
∴a_n=n．
（2）證明：∵a_n+1-（n+1）=

(n+2) a 2 n -nan+n+1

a 2 n +1

-（n+1）=

an

a 2 n +1

（a_n-n），
∴|a_n+1-（n+1）|=|

an

a 2 n +1

||an-n|，
（i）當(dāng)a_n≠0時，|

an

a 2 n +1

|=|

1

an+ 1 an

|≤

1

2

，（ii）當(dāng)a_n=0時，|

an

a 2 n +1

|=0≤

1

2

．
∴|an+1-(n+1)|≤

1

2

|an-n|，而|a1-1|≤

1

2

．
∴|a_n-n|≤

1

2

|an-1-(n-1)|≤…≤(

1

2

)n-1|a1-1|≤(

1

2

)n．
∴|S_n-

n(n+1)

2

|=|（a₁-1）+（a₂-2）+…+（a_n-n）|≤|a₁-1|+|a₂-2|++…+|a_n-n|
≤

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n=

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=1-

1

2n

＜1．
∴|S_n-

n(n+1)

2

|＜1（n∈N^*）．

點評：本題考查了數(shù)學(xué)歸納法、猜想能力、不等式的性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)、含絕對值不等式的性質(zhì)，考查了放縮法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．