Question

如圖，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，∠PAD=90°，且PA=AD=2，E，F(xiàn)，G分別是線段PA、PD、CD的中點(diǎn)．
（1）求證：PB∥平面EFG
（2）在線段CD上是否存在一點(diǎn)Q，使得點(diǎn)A到平面EFQ的距離為0.8，若存在，求出CQ的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：對(duì)第（1）問，設(shè)AC∩BD=0，連結(jié)OF，只需證平面EFG外的一條線PB平行于平面內(nèi)的直線OF即可．
對(duì)第（2）問，由PA，AB，AD兩兩垂直，以AB，AD，AP分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，先假設(shè)存在滿足題意的點(diǎn)Q（x₀，2，0），根據(jù)點(diǎn)A到平面EFQ的距離為0.8，再將此距離轉(zhuǎn)化為向量

AE

在平面EFQ的法向量方向上的射影長(zhǎng)，從而得到關(guān)于x₀的方程，通過解方程即可探求點(diǎn)Q的存在性．

解答： 解：（1）證：連結(jié)AC，設(shè)AC∩BD=0，連結(jié)OF，0G，則OG∥BC∥AD∥EF，∴E，F(xiàn)，G，O四點(diǎn)共面，
∵OF∥PB，PB?平面EFG，OF?平面EFG，
∴PB∥平面EFG．
（2）由題意易得PA，AB，AD兩兩垂直，以AB，AD，AP分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如右圖所示，則點(diǎn)E（0，0，1），F(xiàn)（0，1，1）．
假設(shè)在線段CD上，存在一點(diǎn)Q（x₀，2，0）滿足題意，則

EF

=(0，1，0)，

EQ

=(x0，2，-1)，

EA

=(0，0，-1)．又設(shè)平面EFQ的法向量為

u

=(x，y，z)，則有

u • EF =0 u • EQ =0

，即

(x，y，z)•(0，1，0)=0 (x，y，z)•(x0，2，-1)=0

，
∴y=0，z=x₀x．取x=1，得

u

=(1，0，x0)，則

EA

在平面EFQ的法向量方向上的射影長(zhǎng)

| EA • u |

| u |

=0.8，
得x02=(

4

5

)2+(

4

5

)2x02，
又∵x₀＞0，得x0=

4

3

，∴Q(

4

3

，2，0)，從而

CQ

=(-

2

3

，0，0)，
∴|CQ|=

2

3

，即在線段CD上存在一點(diǎn)Q滿足題意，且CQ的長(zhǎng)為

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：1．本題考查了線面平行的判定定理，證線面平行的關(guān)鍵是：在已知平面內(nèi)找一條線與已知直線平行，即將線面平行問題轉(zhuǎn)化為線線平行問題，而線線平行常根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)或平行四邊形的性質(zhì)得證．
2．若涉及到三條兩兩垂直的直線，可以考慮建立空間直角坐標(biāo)系．利用向量法求解點(diǎn)到平面距離問題時(shí)，一般將此距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到平面內(nèi)任意一點(diǎn)連線的向量在該平面法向量方向上的射影長(zhǎng)處理．