Question

函數(shù)f（x）=6cos²

ωx

2

+

3

sinωx-3（ω＞2）在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，A為圖象的最高點(diǎn)，B、C為圖象與x軸的交點(diǎn)，且ABC為正三角形．
（1）求ω的值；
（2）求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用兩角和公式和二倍角公式對函數(shù)解析式化簡，根據(jù)題意求得BC的長，進(jìn)而求得三角函數(shù)的最下正周期，則ω可得．
（2）根據(jù)（1）中求得f（x）的表達(dá)式，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最大和最小值．

解答： 解：（1）f(x)=6cos2

ωx

2

+

3

sinωx-3=3(cosωx+1)+

3

sinωx-3=3cosωx+

3

sinωx=2

3

sin(ωx+

π

3

)
∵正三角形的高為2

3

，
∴BC=4，
∴函數(shù)f（x）的周期T=4×2=8，ω=

2π

T

=

π

4

（2）函數(shù)f（x）=2

3

sin（

π

4

x+

π

3

），
∵x∈R，
∴-1≤sin(

π

4

x+

π

3

)≤1
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)?span id="4pp8k9u" class="MathJye">[-2

3

，2

3

]．

點(diǎn)評：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)．求得函數(shù)的周期時解題的關(guān)鍵所在．