Question

根據(jù)下列條件，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（1）a₁=2，a_n=a_n-1+2n-1（n≥2）；
（2）a₁=1，（n+1）a_n+1²-na_n²+a_n+1a_n=0且a_n＞0；
（3）a₁=1，a_n+1=2a_n+3．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）利用累加法，即可求出通項(xiàng)，
（2）利用累乘法，即可求出通項(xiàng)，
（3）構(gòu)造數(shù)列，a_n+1+3=2（a_n+3），即數(shù)列{a_n+3}是以4為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，即可求出通項(xiàng)

解答： 解：（1）∵a₁=2，a_n=a_n-1+2n-1（n≥2），
∴a_n-a_n-1=2n-1，
∴（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+（a₄-a₃）+…+（a_n-a_n-1）=3+5+7+…+2n-1=

(n-1)(3+2n-1)

2

=（n-1）（n+1）=n²-1，
∴a_n=n²（n≥2）
∴a_n=

2，n=1時 n2，n≥2時

（2）∵a₁=1，（n+1）a_n+1²-na_n²+a_n+1a_n=0且a_n＞0，
∴[（n+1）a_n+1-na_n]（a_n+1+a_n）=0，
∴（n+1）a_n+1-na_n=0，
∴

an+1

an

=

n

n+1

，
∴

a2

a1

×

a3

a2

×…×

an

an-1

=

1

2

×

2

3

×

3

4

×…×

n-1

n

=

1

n

∴a_n=

1

n

（3）∵a₁=1，a_n+1=2a_n+3，
∴a_n+1+3=2（a_n+3），
∴a₁+3=1+3=4，
∴數(shù)列{a_n+3}是以4為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n+3=4×2^n-1，
∴a_n=2ⁿ⁺¹-3

點(diǎn)評：本題主要考查了數(shù)列通項(xiàng)的求法，采用累乘，累加，構(gòu)造等比數(shù)列和等差數(shù)列是常用的方法，屬于中檔題