Question

對于函數(shù)圖象上的不同兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），如果在函數(shù)圖象上存在點M（x₀，y₀）（其中x₀∈（x₁，x₂））使得點m處的切線l∥AB，則稱AB存在“伴侶切線”．特別地，當X₀=時，又稱AB存在“中值伴侶切線”．
（1）函數(shù)f（x）=x²圖象上兩點A（1，1），B（3，9），求AB的“中值伴侶切線”；
（2）若函數(shù)f（x）=lnx，試問：在函數(shù)f（x）上是否存在兩點A、B使得它存在“中值伴侶切線”，若存在，求出A、B的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）M（2，4），f′2）=2×2=4
y=4x-4…（3分）
檢驗：滿足…（4分）
（2）在函數(shù)f（x）上不存在兩點A、B使得它存在“中值伴侶切線”．
假設(shè)存在兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
不妨設(shè)0＜x₁＜x₂，則…（6分）
在函數(shù)圖象x₀=處的切線斜率k=f′（x₀）=f′（）=，
化簡得：，ln==…（8分）
令，則t＞1，上式化為：lnt=，
即lnt+=2
若令g（t）=lnt+，g′（x）=，
由t＞1，g′（t）＞0，
∴g（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
g（t）＞g（1）=2這表明在（1，+∞）內(nèi)不存在t，使得lnt+=2
綜上所述，在函數(shù)f（x）上不存在兩點A、B使得它存在“中值伴侶切線”． …（12分）
分析：（1）取M（2，4），欲求求AB的“中值伴侶切線”，先求導數(shù)值f′2）=2×2=4得AB的“中值伴侶切線”的斜率，從而求出求AB的“中值伴侶切線”；
（2）對于存在性問題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)存在兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），再利用中值伴侶切線的意義結(jié)合導數(shù)工具，求出g（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．
點評：考查利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力，利用導數(shù)求函數(shù)極值的能力，以及直線斜率的計算公式，屬于中檔題．