Question

對(duì)于函數(shù)圖象上的不同兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），如果在函數(shù)圖象上存在點(diǎn)M（x₀，y₀）（其中x₀∈（x₁，x₂））使得點(diǎn)m處的切線(xiàn)l∥AB，則稱(chēng)AB存在“伴侶切線(xiàn)”．特別地，當(dāng)X₀=時(shí)，又稱(chēng)AB存在“中值伴侶切線(xiàn)”．
（1）函數(shù)f（x）=x²圖象上兩點(diǎn)A（1，1），B（3，9），求AB的“中值伴侶切線(xiàn)”；
（2）若函數(shù)f（x）=lnx，試問(wèn)：在函數(shù)f（x）上是否存在兩點(diǎn)A、B使得它存在“中值伴侶切線(xiàn)”，若存在，求出A、B的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）M（2，4），f′2）=2×2=4
y=4x-4…（3分）
檢驗(yàn)：滿(mǎn)足…（4分）
（2）在函數(shù)f（x）上不存在兩點(diǎn)A、B使得它存在“中值伴侶切線(xiàn)”．
假設(shè)存在兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
不妨設(shè)0＜x₁＜x₂，則…（6分）
在函數(shù)圖象x₀=處的切線(xiàn)斜率k=f′（x₀）=f′（）=，
化簡(jiǎn)得：，ln==…（8分）
令，則t＞1，上式化為：lnt=，
即lnt+=2
若令g（t）=lnt+，g′（x）=，
由t＞1，g′（t）＞0，
∴g（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
g（t）＞g（1）=2這表明在（1，+∞）內(nèi)不存在t，使得lnt+=2
綜上所述，在函數(shù)f（x）上不存在兩點(diǎn)A、B使得它存在“中值伴侶切線(xiàn)”． …（12分）
分析：（1）取M（2，4），欲求求AB的“中值伴侶切線(xiàn)”，先求導(dǎo)數(shù)值f′2）=2×2=4得AB的“中值伴侶切線(xiàn)”的斜率，從而求出求AB的“中值伴侶切線(xiàn)”；
（2）對(duì)于存在性問(wèn)題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)存在兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），再利用中值伴侶切線(xiàn)的意義結(jié)合導(dǎo)數(shù)工具，求出g（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，若出現(xiàn)矛盾，則說(shuō)明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．
點(diǎn)評(píng)：考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的能力，以及直線(xiàn)斜率的計(jì)算公式，屬于中檔題．