【題目】如圖，在四棱錐中，底面為矩形，，側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面，是的中點(diǎn).

（1）在棱上取一點(diǎn)使直線∥平面并證明；

（2）在（1）的條件下，當(dāng)棱上存在一點(diǎn)，使得直線與底面所成角為時，求二面角的余弦值.

【答案】（1）上取中點(diǎn)，證明見詳解；（2）

【解析】

（1）找上取中點(diǎn)，由線線平行推證線面平行；

（2）根據(jù)線面角的大小找到棱長的等量關(guān)系，再根據(jù)三垂線定理，找出二面角的平面角，在三角形中求解余弦值即可.

（1）在上取中點(diǎn)，在上取中點(diǎn)，連接，作圖如下：

由于平行且等于，平行且等于，

所以平行且等于，

所以四邊形是平行四邊形，

所以∥.

直線，

，

所以∥平面.

（2）取中點(diǎn)，連接，

由于為正三角形

∴

又∵平面平面，平面平面

∴平面，

連接，四邊形為正方形。

∵平面，

∴平面平面

而平面平面

過作，垂足為

∴平面

∴為與平面所成角，

∴

在中，，

∴，

設(shè)，，，

∴，

∴

在中，，

∴

∴，，

過點(diǎn)H作HN垂直于CD，垂足為N，連接MN，HN

因為MH平面ABCD,則即為所求二面角的平面角,

在中，因為，HN=FC=，

由勾股定理解得

故

故二面角的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中，，則下列選項中的條件使得僅有一個零點(diǎn)的有（ ）

A.為奇函數(shù)B.

C.，D.，

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某學(xué)校為了了解高一年級學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的狀態(tài),從期中考試成績中隨機(jī)抽取50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績,按成績分組:第1組,第2組,第3組,第4組,第5組,得到的頻率分布直方圖如圖所示.

(1)由頻率分布直方圖,估計這50名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)和平均數(shù)(保留到0.01);

(2)該校高一年級共有1000名學(xué)生,若本次考試成績90分以上(含90分)為“優(yōu)秀”等次,則根據(jù)頻率分布直方圖估計該校高一學(xué)生數(shù)學(xué)成績達(dá)到“優(yōu)秀”等次的人數(shù).

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線l的參數(shù)方程為為參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝asinθ（a≠0）.

（1）求圓C的直角坐標(biāo)方程與直線l的普通方程；

（2）設(shè)直線l截圓C的弦長是半徑長的倍，求a的值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)作直線，分別與橢圓交于，及，點(diǎn)，若，的周長為8.

（1）求橢圓的方程；

（2）求四邊形面積的最小值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，矩形中，，是邊上異于端點(diǎn)的動點(diǎn)，于點(diǎn)，將矩形沿折疊至處，使面面.點(diǎn)分別為的中點(diǎn).

（1）證明：//面；

（2）設(shè)，當(dāng)x為何值時，四面體的體積最大，并求出最大值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2019年底，北京2022年冬奧組委會啟動志愿者全球招募，僅一個月內(nèi)報名人數(shù)便突破60萬，其中青年學(xué)生約有50萬人.現(xiàn)從這50萬青年學(xué)生志愿者中，按男女分層抽樣隨機(jī)選取20人進(jìn)行英語水平測試，所得成績(單位:分)統(tǒng)計結(jié)果用莖葉圖記錄如下:

(Ⅰ)試估計在這50萬青年學(xué)生志愿者中，英語測試成績在80分以上的女生人數(shù);

(Ⅱ)從選出的8名男生中隨機(jī)抽取2人，記其中測試成績在70分以上的人數(shù)為X，求的分布列和數(shù)學(xué)期望;

(Ⅲ)為便于聯(lián)絡(luò)，現(xiàn)將所有的青年學(xué)生志愿者隨機(jī)分成若干組(每組人數(shù)不少于5000)，并在每組中隨機(jī)選取個人作為聯(lián)絡(luò)員，要求每組的聯(lián)絡(luò)員中至少有1人的英語測試成績在70分以上的概率大于90%.根據(jù)圖表中數(shù)據(jù)，以頻率作為概率，給出的最小值.(結(jié)論不要求證明)

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù),已知在有且僅有3個零點(diǎn),下列結(jié)論正確的是（ ）

A.在上存在,,滿足

B.在有且僅有1個最小值點(diǎn)

C.在單調(diào)遞增

D.的取值范圍是

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線（）上的兩個動點(diǎn)和，焦點(diǎn)為F.線段的中點(diǎn)為，且點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)F的距離之和為8

（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若線段的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)C，求面積的最大值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案