Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(－，0)，B(，0)，直線MA，MB交于點(diǎn)M，它們的斜率之積為常數(shù)m(m≠0)，且△MAB的面積最大值為，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線E.

(1)求曲線E的方程；

(2)過曲線E外一點(diǎn)Q作E的兩條切線l1，l2，若它們的斜率之積為－1，那么·是否為定值？若是，請求出該值；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ;(2)見解析.

【解析】試題分析: (1) 設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo),根據(jù)直線MA，MB的斜率之積為常數(shù)m(m≠0)，列出方程,去掉不合題意的點(diǎn),再根據(jù)m的正負(fù)討論曲線的類型,檢驗(yàn)是否滿足△MAB的面積最大值為;(2)設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo),寫出過Q的切線方程與橢圓聯(lián)立,消去y,得到關(guān)于x的一元二次方程,根據(jù)Δ＝0列出關(guān)于k的一元二次方程,再由切線的斜率之積為－1,化簡得出Q的軌跡方程,代入求值即可.

試題解析:(1)設(shè)M(x，y)，則由已知得

·＝m，即y2＝m(x2－3)，

即－＝1(x≠±).(*)

①當(dāng)m>0時(shí)，方程(*)表示雙曲線，此時(shí)△MAB面積不存在最大值(不符合)；

②當(dāng)m＝－1時(shí)，方程(*)表示圓，此時(shí)△MAB的面積最大值為3(不符合)；

③當(dāng)m<0且m≠－1時(shí)，方程(*)為橢圓，此時(shí)△MAB的面積最大值為，所以m＝－.

此時(shí)所求的方程為.

(2)設(shè)Q(x0，y0)，過點(diǎn)Q的切線l為y＝k(x－x0)＋y0，

由消去y得

(1＋3k2)x2＋6k(y0－kx0)x＋3(y0－kx0)2－3＝0，

則Δ＝36k2(y0－kx0)2－4(1＋3k2)·3[(y－kx0)2－1]＝0，

化簡得(3－x)k2＋2x0y0k＋1－y＝0，

于是k1·k2＝.由已知斜率之積為－1，

則＝－1，則x＋y＝4(x0≠±)，

所以·＝(－－x0，－y0)·(－x0，－y0)＝x－3＋y＝1.

點(diǎn)睛:第一問根據(jù)題中等式列出方程,判斷m取值不同時(shí), △MAB的面積最大值與題中條件是否符合,即可得出m值以及橢圓的方程,并挖去不合題意的點(diǎn);第二問設(shè)出Q點(diǎn)坐標(biāo),列出過Q的切線方程,與橢圓方程聯(lián)立,得出關(guān)于切線斜率的方程,求出斜率之積的表達(dá)式,得出Q點(diǎn)滿足的方程,代入即可求出定值.