Question

已知點F為拋物線C：y²=4x的焦點，點P為準線l上的動點，直線PF交拋物線C于A，B兩點，若P的縱坐標為m（m≠0），點D為準線為l與x軸的交點，則△DAB的面積S的取值范圍為（　　）

• A、（1，4）
• B、（1，8）
• C、（4，+∞）
• D、（8，+∞）

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由拋物線C：y²=4x可得焦點F（1，0）．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線PF的方程為：y=k（x-1）．與拋物線方程聯(lián)立可得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

．點D（-1，0）到直線AB的距離d=

|2k|

1+k2

．再利用S_△DAB=

1

2

d|AB|即可得出．

解答： 解：由拋物線C：y²=4x可得焦點F（1，0）．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線PF的方程為：y=k（x-1）．
聯(lián)立

y=k(x-1) y2=4x

，
化為k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
則x₁+x₂=2+

4

k2

，x₁x₂=1．
∴|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[(2+ 4 k2 )2-4]

=

4(1+k2)

k2

．
點D（-1，0）到直線AB的距離d=

|2k|

1+k2

．
∴S_△DAB=

1

2

d|AB|=

1

2

×

|2k|

1+k2

×

4(1+k2)

k2

=4

1 k2 +1

＞4．
∴△DAB的面積S的取值范圍為（4，+∞）．
故選：C．

點評：本題考查了直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、點到直線的距離公式、三角形的面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．