Question

已知橢圓

y2

a2

+x²=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

斜率為k（k不等于0）的直線l過橢圓上焦點且與橢圓相交于P、Q兩點，線段PQ的垂直平分線與y軸相交于M（0，m）．
（1）求橢圓的方程；
（2）求m的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得

c a = 2 2 b=1 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓方程．
（2）設直線l的方程為y=kx+1，由

y=kx+1 y2 2 +x2=1

，得（k²+2）x²+2kx-1=0．由此利用韋達定理和中點坐標公式給求出m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵橢圓

y2

a2

+x²=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，
∴

c a = 2 2 b=1 a2=b2+c2

，解得a=

2

，b=c=1，
∴橢圓方程為

y2

2

+x2=1．
（2）設直線l的方程為y=kx+1，
由

y=kx+1 y2 2 +x2=1

，得（k²+2）x²+2kx-1=0．
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-

2k

k2+2

，x₁x₂=-

1

k2+2

．
可得y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2=

1

k2+2

．…（3分）
設線段PQ中點為N，則點N的坐標為（

-k

k2+2

，

2

k2+2

），
由題意有k_MN•k=-1，得

m- 2 k2+2

k k2+2 •k

•k=-1．
解得m=

k

k2+1

，
又k≠0，所以0＜m＜

1

2

．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．