Question

已知函數(shù)f（x）滿足下面關(guān)系：（1）f（x+

π

2

）=f（x-

π

2

）；（2）當(dāng)x∈（0，π]時(shí)，f（x）=-cosx，
則下列說(shuō)法中，正確說(shuō)法的序號(hào)是

 

（把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上）
①函數(shù)f（x）是周期函數(shù)；
②函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
③函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；
④方程f（x）=lg|x|解的個(gè)數(shù)是8．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用已知條件可得函數(shù)f（x）是正確為π的函數(shù)，先畫(huà)出當(dāng)x∈（0，π]時(shí) f（x）=-cosx的圖象，進(jìn)而據(jù)周期再畫(huà)出定義域內(nèi)的圖象；根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可畫(huà)出函數(shù)f（x）=lg|x|，即可得出答案．

解答： 解：由f（x+

π

2

）=f（x-

π

2

）可知：
f（x+π）=f[（x+

π

2

）+

π

2

]=f[（x+

π

2

）-

π

2

]=f（x），
即函數(shù)f（x）是周期為π的周期函數(shù)，
再根據(jù)條件：當(dāng)x∈（0，π]時(shí) f（x）=-cosx，畫(huà)出圖象：

∵f（0）=f（π）=1≠0，∴函數(shù)f（x）不是奇函數(shù)；
根據(jù)圖象可知：函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸不對(duì)稱；
方程f（x）=lg|x|的解的個(gè)數(shù)是8．
綜上可知：只有①④正確．
故答案為：①④．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了函數(shù)的周期性、單調(diào)性及函數(shù)的交點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合并據(jù)已知條件正確畫(huà)出圖象是解題的關(guān)鍵．