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20.在銳角△ABC中,a、b、c分別是角A、B、C的對邊,若A滿足2cos2A+cos(2A+\frac{π}{3})=-\frac{1}{2}
(Ⅰ)求A的值;
(Ⅱ)若c=3,△ABC的面積為3\sqrt{3},求a的值.

分析 (Ⅰ)由三角恒等變換化簡2cos2A+cos(2A+\frac{π}{3})=-\frac{1}{2},
結(jié)合A的取值范圍,即可求出A的值;
(Ⅱ)根據(jù)△ABC的面積公式求出b的值,再利用余弦定理求出a的值.

解答 解:(Ⅰ)△ABC中,2cos2A+cos(2A+\frac{π}{3})=-\frac{1}{2},
∴2•\frac{1+cos2A}{2}+cos(2A+\frac{π}{3})=-\frac{1}{2},
即1+cos2A+cos2Acos\frac{π}{3}-sin2Asin\frac{π}{3}=-\frac{1}{2},
\frac{\sqrt{3}}{2}sin2A-\frac{3}{2}cos2A=\frac{3}{2},
\frac{1}{2}sin2A-\frac{\sqrt{3}}{2}cos2A=\frac{\sqrt{3}}{2},
即sin(2A-\frac{π}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2};
又△ABC是銳角三角形,∴0<A<\frac{π}{2},
∴-\frac{π}{3}<2A-\frac{π}{3}\frac{2π}{3},
∴2A-\frac{π}{3}=\frac{π}{3}
解得A=\frac{π}{3};
(Ⅱ)c=3,且△ABC的面積為S△ABC=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{3b}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3},
解得b=4;
由余弦定理得
a2=b2+c2-2bccosA=42+32-2×4×3×\frac{1}{2}=13,
解得a=\sqrt{13}

點評 本題考查了正弦、余弦定理的應(yīng)用問題,也考查了三角恒等變換問題,是綜合性題目.

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