Question

如圖，已知定點(diǎn)A（0，3），動(dòng)點(diǎn)B在直線l₁：y=1上，動(dòng)點(diǎn)C在直線l₂：y=-1上，且∠BAC=90°，則△ABC的面積的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理

專題：計(jì)算題,解三角形,不等式的解法及應(yīng)用

分析：設(shè)B（x₁，1），C（x₂，-1），求出AB，AC的長(zhǎng)，運(yùn)用兩直線垂直的條件，以及三角形的面積公式，化簡(jiǎn)整理，再由基本不等式可得最小值．

解答： 解：設(shè)B（x₁，1），C（x₂，-1），
則|AB|=

x12+4

，|AC|=

x22+16

，
且AB⊥AC，有

2

-x1

•

4

-x2

=-1，即x₁x₂=-8，
則△ABC的面積S=

1

2

|AB|•|AC|=

1

2

x12+4

•

x22+16

=

1

2

(x12+4)(16+ 64 x12 )

=

1

2

128+16(x12+ 16 x12 )

≥

1

2

128+16×2×4

=8．
當(dāng)且僅當(dāng)x₁=±2時(shí)，取得最小值8．
故答案為：8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩直線的垂直的條件，考查三角形的面積公式及最值，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．