Question

已知函數(shù)f（x）=3x²+a，g（x）=2ax+1（a∈R）
（1）若函數(shù)f（x）在（0，2）上無零點，研究函數(shù)y=|g（x）|在（0，2）上的單調(diào)性；
（2）設F（x）=f（x）-g（x），若對任意的x∈[0，1]，恒有|F（x）|＜1成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）由f（x）在（0，2）上無零點，故△≤0，或

△＞0 f(2)＜0

，解出a的范圍，再研究函數(shù)y=|g（x）|在（0，2）上的單調(diào)性；
（2）先求F（0）與F（1），因為對任意的x∈[0，1]，恒有|F（x）|＜1，所以

|F(0)|＜1 |F(1)|＜1

，先求出a的范圍，得對稱軸方程，從而易求函數(shù)F（x）的最大值
與最小值，要使對任意的x∈[0，1]，恒有|F（x）|＜1成立，只要最大值、最小值的絕對值都小于1即可．

解答： 解：（1）∵f（x）在（0，2）上無零點，
∴△≤0，或

△＞0 f(2)＜0

∴a≥0或a≤-12
當a≥0時，y=|g（x）|=2ax+1在（0，2）上遞增；
當a≤-12，y=|g（x）|=|2ax+1|在(0，-

1

2a

)上遞減，在(-

1

2a

，2)上遞增．
（2）F（x）=3x²-2ax+a-1，x∈[0，1]
F（0）=a-1，F(xiàn)（1）=2-a，
∵對任意的x∈[0，1]，恒有|F（x）|＜1，∴

|F(0)|＜1 |F(1)|＜1

∴

|a-1|＜1 |2-a|＜1

∴1＜a＜2
∴x=

a

3

∈(

1

3

，

2

3

)
∴F(x)min=F(

a

3

)，F(xiàn)(x)max=max{F(0)，F(xiàn)(1)}，
要使對任意的x∈[0，1]，恒有|F（x）|＜1成立，只要最大值、最小值的絕對值都小于1即可，
∴

F( a 3 )＞-1 F(0)＜1 F(1)＜1

∴

0＜a＜3 a＜2 a＞1

∴1＜a＜2

點評：本題只要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，先找出a的范圍，從而對稱性易于研究，這是本題的突破口．