如圖所示，已知、、是長軸長為的橢圓上的三點(diǎn)，點(diǎn)是長軸的一個(gè)端點(diǎn)，過橢圓中心，且，．

（1）求橢圓的方程；
（2）在橢圓上是否存點(diǎn)，使得？若存在，有幾個(gè)（不必求出點(diǎn)的坐標(biāo)），若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）過橢圓上異于其頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，作圓的兩條線，切點(diǎn)分別為、，，若直線 在軸、軸上的截距分別為、，證明：為定值.

（1）；（2）存在，且有兩個(gè)；（3）詳見解析.

解析試題分析：（1）根據(jù)題中條件得到值，然后根據(jù)題中的幾何條件得出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入橢圓方程求出值，從而確定橢圓的方程；（2）解法一是設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式將等式轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的直線方程，注意到直線過橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，從而確定滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)；解法二是也是設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式將等式轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的直線方程，再將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用的正負(fù)確定所滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（3）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，先根據(jù)題中條件結(jié)合圓的幾何性質(zhì)得到，，從而得出、、、四點(diǎn)共圓，并寫出圓（以的長為半徑的圓）的方程，通過將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入圓的方程，將兩個(gè)等式相減的辦法得到直線的方程，進(jìn)而求出、（由點(diǎn)的坐標(biāo)表示），并將點(diǎn)的坐標(biāo)由、表示，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程化簡即可證明相關(guān)問題；解法二是設(shè)、、三點(diǎn)的坐標(biāo)，利用圓的幾何性質(zhì)得到，先利用點(diǎn)斜式寫出直線的方程，同時(shí)寫出直線的方程，再將點(diǎn)代入上述兩直線的方程，通過比較得出直線的方程，進(jìn)而求出、（由點(diǎn)的坐標(biāo)表示），并將點(diǎn)的坐標(biāo)由、表示，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程化簡即可證明相關(guān)問題.
試題解析：（1）依題意知：橢圓的長半軸長，則，
設(shè)橢圓的方程為，
由橢圓的對(duì)稱性知 又，，
，，為等腰直角三角形，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
將的坐標(biāo)代入橢圓方程得，
所求的橢圓的方程為；
（2）解法一：設(shè)在橢圓上存在點(diǎn)，使得，設(shè)，則
，
即點(diǎn)

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率，且直線是拋物線的一條切線.
（1）求橢圓的方程；
（2）點(diǎn)P 為橢圓上一點(diǎn)，直線，判斷l(xiāng)與橢圓的位置關(guān)系并給出理由；
（3）過橢圓上一點(diǎn)P作橢圓的切線交直線于點(diǎn)A，試判斷線段AP為直徑的圓是否恒過定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為,離心率，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)所得四邊形的面積為.
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)是直線上的不同兩點(diǎn)，若,求的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，是橢圓上不同的三點(diǎn)，，，在第三象限，線段的中點(diǎn)在直線上．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）設(shè)動(dòng)點(diǎn)在橢圓上（異于點(diǎn)，，）且直線PB，PC分別交直線OA于，兩點(diǎn)，證明為定值并求出該定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知點(diǎn)為橢圓右焦點(diǎn)，圓與橢圓的一個(gè)公共點(diǎn)為，且直線與圓相切于點(diǎn).

（1）求的值及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)滿足，其中M、N是橢圓上的點(diǎn)，為原點(diǎn)，直線OM與ON的斜率之積為，求證：為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓，直線與相交于、兩點(diǎn)，與軸、軸分別相交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).
（1）若直線的方程為，求外接圓的方程；
（2）判斷是否存在直線，使得、是線段的兩個(gè)三等分點(diǎn)，若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)和,圓是以為圓心,半徑為的圓,點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線和半徑所在的直線交于點(diǎn).
（1）當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程；
（2）已知，是曲線上的兩點(diǎn)，若曲線上存在點(diǎn)，滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線與軸交于點(diǎn)，與橢圓交于兩點(diǎn)，線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1，0)．
(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)M、N是拋物線C的準(zhǔn)線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且它們的縱坐標(biāo)之積為－4，直線MO、NO與拋物線的交點(diǎn)分別為點(diǎn)A、B，求證：動(dòng)直線AB恒過一個(gè)定點(diǎn)．

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