有下列命題:
①在函數(shù)y=cos(x-
π
4
)cos(x+
π
4
)
的圖象中,相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心的距離為π;
②函數(shù)y=
x+3
x-1
的圖象關(guān)于點(diǎn)(-1,1)對(duì)稱;
③關(guān)于x的方程ax2-2ax-1=0有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)a=-1;
④在△ABC中,若3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1,則角C等于30°或150°.
其中所有真命題的序號(hào)是
 
考點(diǎn):命題的真假判斷與應(yīng)用
專題:簡(jiǎn)易邏輯
分析:①利用誘導(dǎo)公式和倍角公式、周期公式即可得出;
②函數(shù)變形為y=
x+3
x-1
=1+
4
x-1
,即可得出圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱;
③對(duì)a分類討論:當(dāng)a≠0時(shí),由△=0,解得a,當(dāng)a=0時(shí),直接驗(yàn)證即可;
④利用平方關(guān)系和兩角和的正弦公式、誘導(dǎo)公式、三角形的內(nèi)角和定理即可得出.
解答: 解:①y=cos(x-
π
4
)cos(x+
π
4
)
=sin(x+
π
4
)cos(x+
π
4
)
=
1
2
sin(2x+
π
2
)
=
1
2
cos2x
,
∴T=
2
=π,∴圖象相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心的距離為
π
2
,因此不正確;
②函數(shù)y=
x+3
x-1
=1+
4
x-1
的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱,因此②不正確;
③關(guān)于x的方程ax2-2ax-1=0有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根,
當(dāng)a=0時(shí),不適合;
當(dāng)a≠0時(shí),由△=4a2+4a=0,解得a=-1.
綜上可知:實(shí)數(shù)a=-1,因此正確;
④在△ABC中,由3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1,
分別平方相加可得9+16+24sin(A+B)=37,
化為sinC=
1
2
,則角C等于30°或150°.因此正確.
綜上可知:只有③④正確.
故答案為:③④.
點(diǎn)評(píng):本題綜合考查了三角函數(shù)的平方關(guān)系、兩角和的正弦公式、誘導(dǎo)公式、三角形的內(nèi)角和定理、函數(shù)的對(duì)稱性、一元二次方程的實(shí)數(shù)根與判別式的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,an>0,a1=
2
3
,且-
3
a2
,
1
a3
1
a4
成等差數(shù)列.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn•log3(1-Sn+1)=1,求適合方程b1b2+b2b3+…+bnbn+1=
25
51
的正整數(shù)n的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,拋物線的方程為y2=2px(p>0).
(1)當(dāng)p=4時(shí),求該拋物線上縱坐標(biāo)為2的點(diǎn)到其焦點(diǎn)F的距離;
(2)已知該拋物線上一點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為t(t>0),過(guò)P作兩條直線分別交拋物線與A(x1,y1)、B(x2,y2),當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí),求證:
y1+y2
t
為定值;并用常數(shù)p、t表示直線AB的斜率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=2x,點(diǎn)P(a,b)在函數(shù)y=
1
x
(x>0)圖象上,那么f(a)•f(b)的最小值是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

若實(shí)數(shù)x,y滿足
y≥1
y≤2x-1
x+y≤4
,則z=
y
x
的最小值為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

給出下列四個(gè)命題:
①“x<1”是“x2<1”的充分不必要條件
②若f(x)是定義在[-1,1]的偶函數(shù)且在[-1,0]上是減函數(shù),θ∈(
π
4
,
π
2
),則f(sinθ)<f(cosθ)
③若f(x)的圖象在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線方程是y=
1
2
x+2,則f(1)+f′(1)=3
④若f(x)=lg(
x2+1
-x),則f(lg2)+f(lg
1
2
)=0
⑤函數(shù)f(x)=ex+x-2在區(qū)間(0,1)上有零點(diǎn).
其中所有正確命題的序號(hào)是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

點(diǎn)P(x,y)滿足條件
0≤x≤1
0≤y≤1
y-x≥
1
2
則P點(diǎn)坐標(biāo)為
 
時(shí),z=4-2x+y取最大值
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

從1,2,3,4,5,6,7,8,9這9個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)不同的數(shù),分別為a、b,則能得到
 
條不同的直線ax+by+11=0.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

等比數(shù)列{an}中a1=3,a4=24,則a3+a4+a5=(  )
A、33B、72C、84D、189

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同步練習(xí)冊(cè)答案