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11.已知數(shù)列{an}是非常值數(shù)列,且滿足an+2=2an+1-an(n∈N*),其前n項和為sn,若s5=70,a2,a7,a22成等比數(shù)列.
( I)求數(shù)列{an}的通項公式;
( II)設(shè)數(shù)列{1sn}的前n項和為Tn,求證:16Tn38

分析 ( I)通過an+2=2an+1-an(n∈N*),判斷{an}是等差數(shù)列,利用s5=70,a2,a7,a22成等比數(shù)列求解數(shù)列的首項與公差,然后求解通項公式.
( II)求出sn=2n2+4n,化簡它的倒數(shù),利用裂項消項法求解數(shù)列的和,利用數(shù)列的單調(diào)性證明不等式.

解答 (本小題滿分12分)
解:( I)因為數(shù)列滿足an+2=2an+1-an(n∈N*),所以{an}是等差數(shù)列且s5=70,
∴5a1+10d=70.①…(1分)
∵a2,a7,a22成等比數(shù)列,∴a27=a2a22
a1+6d2=a1+da1+21d.②…(3分)
由①,②解得a1=6,d=4或a1=14,d=0(舍去),…(4分)
∴an=4n+2.…(5分)
( II)證明:由( I)可得sn=2n2+4n,
所以1sn=12n2+4n=141n1n+2.…(6分)
所以Tn=1s1+1s2+1s3++1sn1+1sn=141113+141214+141315++141n11n+1+141n1n+2
=38141n+1+1n+2.…(8分)
Tn38=141n+1+1n+20,∴Tn38.…(10分)
Tn+1Tn=141n+11n+30,∴數(shù)列{Tn}是遞增數(shù)列,∴TnT1=16.…(11分)
16Tn38.…(12分)

點評 本題考查數(shù)列的應(yīng)用,通項公式的求法,裂項消項法的應(yīng)用,數(shù)列的單調(diào)性的應(yīng)用,是中檔題.

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