Question

某市2013年發(fā)放汽車牌照12萬張，其中燃油型汽車牌照10萬張，電動型汽車2萬張．為了節(jié)能減排和控制總量，從2013年開始，每年電動型汽車牌照按50%增長，而燃油型汽車牌照每一年比上一年減少0.5萬張，同時規(guī)定一旦某年發(fā)放的牌照超過15萬張，以后每一年發(fā)放的電動車的牌照的數(shù)量維持在這一年的水平不變．
（1）記2013年為第一年，每年發(fā)放的燃油型汽車牌照數(shù)構(gòu)成數(shù)列{a_n}，每年發(fā)放的電動型汽車牌照數(shù)為構(gòu)成數(shù)列{b_n}，完成下列表格，并寫出這兩個數(shù)列的通項公式；

a1=10	a2=9.5	a3=	a4=	…
b1=2	b2=	b3=	b4=	…

（2）從2013年算起，累計各年發(fā)放的牌照數(shù)，哪一年開始超過200萬張？

Answer 1

考點：數(shù)列的應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）利用從2013年開始，每年電動型汽車牌照按50%增長，而燃油型汽車牌照每一年比上一年減少0.5萬張，同時規(guī)定一旦某年發(fā)放的牌照超過15萬張，以后每一年發(fā)放的電動車的牌照的數(shù)量維持在這一年的水平不變，可填寫表格，并寫出這兩個數(shù)列的通項公式；
（2）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式，可得-

1

4

n²+17n-

43

4

≥200，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）

a1=10	a2=9.5	a3=9	a4=8.5	…
b1=2	b2=3	b3=4.5	b4=6.75	…

…（2分）
當(dāng)1≤n≤20且n∈N^*，a_n=10+（n-1）×（-0.5）=-0.5n+10.5；
當(dāng)n≥21且n∈N^*，a_n=0．
∴a_n=

-0.5n+10.5，1≤n≤20且n∈N* 0，n≥21且n∈N*

…（5分）
而a₄+b₄=15.25＞15
∴b_n=

2•( 3 2 )n-1，1≤n≤4且n∈N* 6.75，n≥5且n∈N*

，…（8分）
（2）當(dāng)n=4時，S_n=a₁+a₂+a₃+a₄+b₁+b₂+b₃+b₄=53.25．
當(dāng)5≤n≤21時，S_n=（a₁+a₂+…+a_n）+（b₁+b₂+b₃+b₄+b₅+…+b_n）=10n+

n(n-1)

2

•(-0.5)+

2[1-( 3 2 )4]

1- 3 2

+6.75（n-4）
=-

1

4

n²+17n-

43

4

…（11分）
由S_n≥200得-

1

4

n²+17n-

43

4

≥200，即n²-68n+843≤0，得34-

313

≤n≤21 …（13分）
∴到2029年累積發(fā)放汽車牌照超過200萬張．…（14分）

點評：本題考查數(shù)列的應(yīng)用，考查利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，考查數(shù)列的求和，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．