Question

4．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的兩條漸近線與拋物線y²=-16x的準(zhǔn)線交于A，B，且|AB|=6，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{7}}{4}$
• B． $\frac{4}{3}$
• C． $\frac{5}{3}$
• D． $\frac{5}{4}$

Answer 1

分析 求出y²=-16x的準(zhǔn)線l：x=4，由漸近線與拋物線y²=-16x的準(zhǔn)線交于A，B兩點(diǎn)，|AB|=6，從而得出A（4，3 ），B（4，-3），將A點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線漸近線方程結(jié)合a，b，c的關(guān)系式得出a，c的關(guān)系，即可求得離心率．

解答 解：∵y²=-16x的準(zhǔn)線l：x=4，
∵雙曲線漸近線與拋物線y²=-16x的準(zhǔn)線l：x=4交于A，B兩點(diǎn)，|AB|=6，
∴A（4，3 ），B（4，-3），
將A點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線漸近線方程得$\frac{a}=\frac{3}{4}$，
∴b²=$\frac{9}{16}$a²⇒a²=c²-$\frac{9}{16}$a²，
即25a²=16c²，
則雙曲線的離心率e為$\frac{5}{4}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．