Question

2．已知函數(shù)f（x）=x³-3x²+1，給出命題
①f（x）有三個(gè)單調(diào)區(qū)間；
②f（0）=0是極大值，f（2）=-4是極小值；
③函數(shù)f（x）有三個(gè)零點(diǎn)；
④y=0是函數(shù)的一條切線．
其中正確的命題有（　　）

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性以及極值的關(guān)系，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值．

解答 解：∵f（x）=x³-3x²+1，
∴f′（x）=3x²-6x，
令f′（x）=0，解得x=0，或x=2，
當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，即x＜0，或x＞2時(shí)，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，即0＜x＜2時(shí)，函數(shù)f（x）為減函數(shù)，
故函數(shù)f（x）的增區(qū)間是（-∞，0）和（2，+∞），f（x）的減區(qū)間是（0，2）；
當(dāng)x=0時(shí)函數(shù)有極大值，即f（0）=1，當(dāng)x=2時(shí)函數(shù)有極小值，即f（2）=-3，
故函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，
故正確的命題有①③，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性以及極值的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．