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6.已知a=(sinωx+cosωx,3cosωx),=(cosωx-sinωx,2sinωx)(ω>0),函數(shù)f(x)=a,若f(x)的最小正周期為π.
(1)求f(x)的解析式;
(2)在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,若f(A)=1,a=21,b+c=9,求△ABC的面積.

分析 (1)由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示,f(x)=a\overrightarrow=(sinωx+cosωx)(cosωx-sinωx)+3cosωx•2sinωx,根據(jù)二倍角公式及輔助角公式即可求得f(x)=2sin(2ωx+\frac{π}{6}),由f(x)的最小正周期為π,即\frac{2π}{2ω}=π,求得ω,寫出f(x)的解析式;
(2)由f(A)=1,2sin(2A+\frac{π}{6})=1,即sin(2A+\frac{π}{6})=\frac{1}{2},由0<A<π,求得A=\frac{π}{3},由余弦定理cosA=\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc},即可求得bc的值,由三角形的面積公式即可求得△ABC的面積.

解答 解:(1)f(x)=\overrightarrow{a}\overrightarrow=(sinωx+cosωx)(cosωx-sinωx)+\sqrt{3}cosωx•2sinωx,
=cos2ωx-sin2ωx+2\sqrt{3}sinωxcosωx,
=cos2ωx+\sqrt{3}sin2ωx,
=2sin(2ωx+\frac{π}{6}),
∵f(x)的最小正周期為π.
\frac{2π}{2ω}=π,即ω=1,
∴f(x)=2sin(2x+\frac{π}{6});
(2)由(1)可知:f(A)=1,即2sin(2A+\frac{π}{6})=1,
∴sin(2A+\frac{π}{6})=\frac{1}{2},
∵0<A<π,
∴2A+\frac{π}{6}=\frac{5π}{6},即A=\frac{π}{3},
由余弦定理可知:cosA=\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}=\frac{(b+c)^{2}-2bc-{a}^{2}}{2bc},解得:bc=20,
△ABC的面積S=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}×20×\frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}
△ABC的面積5\sqrt{3}

點(diǎn)評 本題考查正弦函數(shù)圖象及性質(zhì),考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示,二倍角公式,輔助角公式,余弦定理及三角形的面積公式的綜合應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.

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