Question

16．已知橢圓x²+（m+3）y²=m（m＞0）的離心率$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求m的值及橢圓的長軸和短軸的長、焦點(diǎn)的坐標(biāo)、頂點(diǎn)的坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程．

Answer 1

分析 化橢圓方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$求得m值，則橢圓的長軸和短軸的長、焦點(diǎn)的坐標(biāo)、頂點(diǎn)的坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程可求．

解答 解：由橢圓x²+（m+3）y²=m（m＞0），得
$\frac{{x}^{2}}{m}+\frac{{y}^{2}}{\frac{m}{m+3}}=1$，
由m-$\frac{m}{m+3}$=$\frac{{m}^{2}+2m}{m+3}$＞0，
可知橢圓x²+（m+3）y²=m（m＞0）是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，
且${a}^{2}=m，^{2}=\frac{m}{m+3}$，
∴c=$\sqrt{\frac{{m}^{2}+2m}{m+3}}$，
由e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{\frac{{m}^{2}+2m}{m+3}}}{\sqrt{m}}=\sqrt{\frac{m+2}{m+3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，得m=1．
∴a=1，b=$\frac{1}{2}$，c=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴橢圓的長軸和短軸的長、焦點(diǎn)的坐標(biāo)、頂點(diǎn)的坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程分別為2，1，F(xiàn)（$±\frac{\sqrt{3}}{2}，0$），A（±1，0），B（0，±$\frac{1}{2}$），x=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了橢圓的簡單性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．