Question

設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=2x²+（x-a）|x-a|
（Ⅰ）若f（0）≥1，求a的取值范圍；
（Ⅱ）求f（x）在[-2，2]上的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用,函數(shù)的值域

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）原不等式即為-a|a|≥1，考慮a＜0，解二次不等式求交集即可；
（Ⅱ）將函數(shù)f（x）改寫為分段函數(shù)，討論當(dāng)a≥0時(shí)，①-a≤-2，②-a＞-2，當(dāng)a＜0時(shí)，①

a

3

≤-2，②

a

3

＞-2，運(yùn)用二次函數(shù)的單調(diào)性，即可得到最小值．

解答： 解：（Ⅰ） 若f（0）≥1，則-a|a|≥1⇒

a＜0 a2≥1

⇒a≤-1，
則a的取值范圍是（-∞，-1]；          
（Ⅱ）函數(shù)f（x）=2x²+（x-a）|x-a|=

3x2-2ax+a2，x≥a x2+2ax-a2，x＜a

，
當(dāng)a≥0時(shí)，
①-a≤-2即a≥2時(shí)，f（x）在[-2，2]上單調(diào)遞增，所以
f（x）_min=f（-2）=4-4a-a²；                    
②-a＞-2即0≤a＜2時(shí)，f（x）在[-2，-a]上單調(diào)遞減，在[-a，2]上單調(diào)遞增，所以
f（x）_min=f（-a）=-2a²；                           
當(dāng)a＜0時(shí)，
①

a

3

≤-2即a≤-6時(shí)，f（x）在[-2，2]上單調(diào)遞增，所以
f（x）_min=f（-2）=12+4a+a²；                          
②

a

3

＞-2即-6＜a＜0時(shí)，f（x）在[-2，

a

3

]上單調(diào)遞減，在[

a

3

，2]上單調(diào)遞增，所以
f（x）_min=f（

a

3

）=

2a2

3

，
綜上可得，f（x）_min=

a2+4a+12，a≤-6 2a2 3 ，-6＜a＜0 -2a2，0≤a＜2 -a2-4a+4，a≥2

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值函數(shù)的運(yùn)用，考查分類討論的思想方法，考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．