對數(shù)列{an}，規(guī)定{△an}為數(shù)列{an}的一階差分數(shù)列，其中△an=an+1-an（n∈N*）．規(guī)定{△2an}為{an}的二階差分數(shù)列，其中△2an=△an+1-△an．
（Ⅰ）已知數(shù)列{an}的通項公式，試判斷{△an}，{△2an}是否為等差或等比數(shù)列，并說明理由；
（Ⅱ）若數(shù)列{an}首項a1=1，且滿足，求數(shù)列{an}的通項公式．
【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)數(shù)列{an}的通項公式，結(jié)合新定義，可判定{△an}是首項為4，公差為2的等差數(shù)列，不是等比數(shù)列，{△2an}是首項為2，公差為0的等差數(shù)列，也是首項為2，公比為1的等比數(shù)列；
（Ⅱ）先猜想，再用數(shù)學歸納法進行證明，證題時要利用到歸納假設．
解答：解：（Ⅰ），
∵△an+1-△an=2，且△a1=4，（2分）
∴{△an}是首項為4，公差為2的等差數(shù)列，不是等比數(shù)列．   （3分）
∵△2an=2（n+1）+2-（2n+2）=2，
∴由定義知，{△2an}是首項為2，公差為0的等差數(shù)列；也是首項為2，公比為1的等比數(shù)列．  （6分）
（Ⅱ），即，即，
又△an=an+1-an，∴．（9分）
∵a1=1，∴，，，
猜想．（10分）
證明：�。┊攏=1時，；
ⅱ）假設n=k時，則．
當n=k+1時，．結(jié)論也成立．
∴由�。ⅱⅲ┛芍�，．（12分）
點評：本題主要考查對新定義的理解，考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的判定，考查數(shù)列的通項，先猜后證是關鍵．
練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

8、對數(shù)列{an}，規(guī)定{△an}為數(shù)列{an}的一階差分數(shù)列，其中△an=an+1-an（n∈N）．對自然數(shù)k，規(guī)定{△kan}為{an}的k階差分數(shù)列，其中△kan=△k-1an+1-△k-1an=△（△k-1an）．
（1）已知數(shù)列{an}的通項公式an=n2+n（n∈N），，試判斷{△an}，{△2an}是否為等差或等比數(shù)列，為什么？
（2）若數(shù)列{an}首項a1=1，且滿足△2an-△an+1+an=-2n（n∈N），求數(shù)列{an}的通項公式．
（3）（理）對（2）中數(shù)列{an}，是否存在等差數(shù)列{bn}，使得b1Cn1+b2Cn2+…+bnCnn=an對一切自然n∈N都成立？若存在，求數(shù)列{bn}的通項公式；若不存在，則請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對數(shù)列{an}，規(guī)定{△an}為數(shù)列{an}的一階差分數(shù)列，其中△an=an+1-an（n∈N*）；一般地，規(guī)定{△kan} 為數(shù)列{an}的k階差分數(shù)列，其中△kan=△k-1an+1-△k-1an（k∈N*，k≥2）．已知數(shù)列{an}的通項公式an=n2+n（n∈N*），則以下結(jié)論正確的序號為
①④
①④
．
①△an=2n+2；       
②數(shù)列{△3an}既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列；
③數(shù)列{△an}的前n項之和為an=n2+n；   
④{△2an}的前2014項之和為4028．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對數(shù)列{an}，規(guī)定{△an}為數(shù)列{an}的一階差分數(shù)列，其中△an=an+1-an（n∈N*）；一般地，規(guī)定{△kan}為數(shù)列{an}的k階差分數(shù)列，其中△kan=△k-1an+1-△k-1an（k∈N*，k≥2）．已知數(shù)列{an}的通項公式an=n2+n（n∈N*），則以下結(jié)論正確的序號為
①④
①④
．
①△an=2n+24；       
②數(shù)列{△3an}既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列；
③數(shù)列{△an}的前n項之和為an=n2+n；   
④{△2an}的前2014項之和為4028．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對數(shù)列{an}，規(guī)定{Van}為數(shù)列{an}的一階差分數(shù)列，其中Van=an+1-an（n∈N*）．對正整數(shù)k，規(guī)定{Vkan}為{an}的k階差分數(shù)列，其中Vkan=Vk-1an+1-Vk-1an=V（VK-1an）（規(guī)定V0an=an）．
（Ⅰ）已知數(shù)列{an}的通項公式an=n2+n（n∈N*），是判斷{Van}是否為等差數(shù)列，并說明理由；
（Ⅱ）若數(shù)列{an}的首項a1=1，且滿足V2an-Van+1+an=-2n（n∈N*），求數(shù)列{an}的通項公式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•桂林一模）對數(shù)列{an}，規(guī)定{△an}為數(shù)列{an}的一階差分數(shù)列，其中△an=an+1-an（n∈N*）．規(guī)定{△2an}為{an}的二階差分數(shù)列，其中△2an=△an+1-△an．
（Ⅰ）已知數(shù)列{an}的通項公式an=n2+n(n∈N*)，試判斷{△an}，{△2an}是否為等差或等比數(shù)列，并說明理由；
（Ⅱ）若數(shù)列{an}首項a1=1，且滿足△2an-△an+1+an=-2n(n∈N*)，求數(shù)列{an}的通項公式．

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