Question

設(shè)f（x）=

-2x+a

2x+1+b

（a，b為常數(shù)）
（1）若a=b=1時(shí)，求證：f（x）不是奇函數(shù)；
（2）若a=1，b=2時(shí)，求證：f（x）是奇函數(shù)；
（3）若a=-1，b=-2時(shí)，解不等式f（x）≤3．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）若a=b=1時(shí)，求出函數(shù)的表達(dá)式，利用函數(shù)奇偶性的定義即可判斷f（x）不是奇函數(shù)；
（2）若a=1，b=2時(shí)，求出函數(shù)的表達(dá)式，利用函數(shù)奇偶性的定義即可判斷f（x）是奇函數(shù)；
（3）若a=-1，b=-2時(shí)，求出函數(shù)的表達(dá)式，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷解不等式．

解答： 解：（1）若a=b=1時(shí)，則f（x）=

-2x+a

2x+1+b

=

-2x+1

2x+1+1

，
則f（1）=

-2+1

22+1

=-

1

5

，f（-1）=

-2-1+1

2-1+1+1

=

1

4

，
∵f（-1）≠-f（1），
∴f（x）不是奇函數(shù)；
（2）若a=1，b=2時(shí)，f（x）=

-2x+a

2x+1+b

=

-2x+1

2x+1+2

，
∵f（-x）=

-2-x+1

2-x+1+2

=

- 1 2x +1

2 2x +2

=

2x-1

2x+1+2

=-f（x），
∴f（x）是奇函數(shù)；
（3）若a=-1，b=-2時(shí)，f（x）=

-2x+a

2x+1+b

=

-2x-1

2x+1-2

=-

1

2

+

1

1-2x

，（x≠0）
則f（x）在（-∞，0）和（0，+∞）上為增函數(shù)．
①當(dāng)x＞0，則2^x＞1，f（x）＜-

1

2

＜3，
②當(dāng)x＜0，則2^x＜1，f（x）＞-

1

2

，
則由-

1

2

+

1

1-2x

≤3，解得x≤log2

5

7

，
∴f（x）≤3的解集為（-∞，log2

5

7

]∪（0，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，以及不等式的求解，根據(jù)定義法是解決本題的關(guān)鍵．