Question

已知函數(shù)g（x）=（2-a）lnx，h（x）=lnx+ax²（a∈R），令f（x）=g（x）+h′（x）
（Ⅰ）當a=1時，求函數(shù)y=

x

g(x)

的圖象上斜率為-2的切線方程；
（Ⅱ）當a＜-2時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）當-3＜a＜-2時，若存在λ₁，λ₂∈[1，3]，使得|f（λ₁）-f（λ₂）|＞（m+ln3）a-2ln3成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求f′（x），切點為（x₀，y₀），可得切點坐標，從而可得切線方程；
（Ⅱ）先求出函數(shù)f（x）的解析式，然后求出f′（x），令f′（x）＞0，f′（x）＜0，分別求出函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；
（Ⅲ）?λ₁，λ₂∈[1，3]，使得|f（λ₁）-f（λ₂）|＜（m+ln3）a-2ln3成立，等價于|f（λ₁）-f（λ₂）|_max＜（m+ln3）a-2ln3，而|f（λ₁）-f（λ₂）|_max=f（x）_max-f（x）_min，由（Ⅱ）利用單調(diào)性可求得f（x）的最大值、最小值，再根據(jù)a的范圍即可求得m的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）當a=1時，y=

x

g(x)

=

x

lnx

，則y′=

lnx-1

ln2x

，
設(shè)切點為（x₀，y₀），則

lnx0-1

ln2x0

=-2，
∴x₀=

1

e

或x₀=

e

，
∴切點為（

1

e

，-

1

e

）、（

e

，2

e

），
∴切線方程為y=-2x+

1

e

和y=-2x+4

e

；
（Ⅱ）∵g（x）=（2-a）lnx，h（x）=lnx+ax²，
∴h′（x）=

1

x

+2ax，
∴f（x）=（2-a）lnx+

1

x

+2ax，
∴f′（x）=

(ax+1)(2x-1)

x2

，
令f′（x）=0，解得x=-

1

a

或

1

2

，
∵a＜-2，∴-

1

a

＜

1

2

，
令f′（x）＜0，解得0＜x＜-

1

a

或x＞

1

2

，
令f′（x）＞0，解得-

1

a

＜x＜

1

2

，
∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，-

1

a

），（

1

2

，+∞），單調(diào)增區(qū)間為（-

1

a

，

1

2

）；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，當-3＜a＜-2時，f（x）在[1，3]上單調(diào)遞減，
∴f（x）_max=f（1）=2a+1；f（x）_min=f（3）=（2-a）ln3+

1

3

+6a，
∴|f（λ₁）-f（λ₂）|_max=f（1）-f（3）=（1+2a）-[（2-a）ln3+

1

3

+6a]=

2

3

-4a+（a-2）ln3，
∵?λ₁，λ₂∈[1，3]，使得|f（λ₁）-f（λ₂）|＞（m+ln3）a-2ln3成立，
∴（m+ln3）a-2ln3＜

2

3

-4a+（a-2）ln3，整理得ma＜

2

3

-4a，
又a＜0，∴m＞

2

3a

-4，
又∵-3＜a＜-2，∴-

1

3

＜

2

3a

＜-

2

9

，
∴-

13

3

＜

2

3a

-4＜-

38

9

，
∴m的取值范圍是m≥-

38

9

．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研切線方程，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，注意導(dǎo)數(shù)的正負對應(yīng)著函數(shù)的增減，同時要注意單調(diào)區(qū)間是定義域的子集，即先要求出函數(shù)的定義域．同時考查了函數(shù)的恒成立問題，對于恒成立，一般選用參變量分離法、最值法、數(shù)形結(jié)合法解決．屬于難題．