Question

已知公比為q的等比數(shù)列{a_n}的前6項和為S₆=21，且2a₁，

3

2

a₂，a₃成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設{b_n}是首項為2，公差為-a₁的等差數(shù)列，其前n項和為T_n，求不等式T_n-b_n＞0的解集．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,等差數(shù)列的性質

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由2a₁，

3

2

a₂，a₃成等差數(shù)列，得到3a₂=2a₁+a₃，從中解出q，再由S₆=21，求出a₁，寫出其通項公式．
（2）由等差數(shù)列的通項公式以及求和公式，得到T_n-b_n的表達式-

a1

2

n2+(2+

3a1

2

)n-2-a1，再a₁的值分別代入求解不等式即可．

解答： 解：（1）∵2a₁，

3

2

a₂，a₃成等差數(shù)列，
∴3a₂=2a₁+a₃，3a₁q=2a₁+a1q2，
即q²-3q+2=0，
∴q=1或q=2．
當q=1時，a_n=a₁，S₆=6a₁=21，∴a1=

7

2

，
當q=2時，S₆=

a1(1-q6)

1-q

=21，∴a1=

1

3

．
∴an=

7

2

或an=

1

3

•2n-1．
（2）b_n=2+（n-1）•（-a₁），Tn=2n+

n(n-1)

2

(-a1)，
∴T_n-b_n=-

a1

2

n2+(2+

3a1

2

)n-2-a1，
當a1=

7

2

時，T_n-b_n=-

7

4

n2+

29

4

n-

11

2

，
令T_n-b_n＞0，化簡得，7n²-29n+22＜0，1＜n＜

22

7

，
∴不等式解集為{2，3}．
當a₁=

1

3

時，T_n-b_n=-

1

6

n2+

5

2

n-

7

3

，
令T_n-b_n＞0，化簡得，n²-15n+14＜0，1＜n＜14，
∴不等式解集為{n∈N^*|1＜n＜14}．
綜上所述，當a1=

7

2

時，不等式解集為{2，3}；
當a₁=

1

3

時，不等式解集為{n∈N^*|1＜n＜14}．

點評：本題屬于基礎題，題目難度不大，是對數(shù)列基本概念和基本公式的考查．學生在做這類題目時一般把握較大，值得注意的是，本題的計算量稍大，學生在計算時要細心才能夠將這樣的題目解決的穩(wěn)穩(wěn)當當．