Question

如圖，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD=DE=2AB=2，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)．
（1）求證：AF∥平面BCE；
（2）求證：平面BCE⊥平面CDE；
（3）求三棱錐A-BCF的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取CE的中點(diǎn)G，連結(jié)FG、BG．由已知條件推導(dǎo)出四邊形GFAB為平行四邊形，由此能證明AF∥平面BCE．
（2）由等邊三角形性質(zhì)得AF⊥CD，由線面垂直得DE⊥AF，從而AF⊥平面CDE，由平行線性質(zhì)得BG⊥平面CDE，由此能證明平面BCE⊥平面CDE．
（3）由已知條件利用等積法能求出三棱錐A-BCF的體積．

解答： （本小題滿分14分）
（1）證明：取CE的中點(diǎn)G，連結(jié)FG、BG．  …（1分）
∵F為CD的中點(diǎn)，
∴GF∥DE且GF=

1

2

DE．
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
∴AB∥DE，∴GF∥AB．   …（2分）
又AB=

1

2

DE，∴GF=AB． …（3分）
∴四邊形GFAB為平行四邊形，
則AF∥BG．…（4分）
∵AF不包含于平面BCE，BG?平面BCE，
∴AF∥平面BCE． …（5分）
（2）證明：∵△ACD為等邊三角形，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，∴AF⊥CD．…（6分）
∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，∴DE⊥AF． …（7分）
又CD∩DE=D，故AF⊥平面CDE．…（8分）
∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE．
∵BG?平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE． …（10分）
（3）解：∵AB⊥平面ACD，∴AB是三棱錐B-ACF的高．…（11分）
∵△ACD為等邊三角形，且AD=DE=2AB=2，∴AB=1．…（12分）
∴VA-BCF=VACF=

1

3

×S△ACF×AB …（13分）
=

1

3

×

1

2

×S△ACD×AB
=

1

3

×

1

2

×

3

4

×22×1
=

3

6

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查平面與平面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．