Question

各項為實數(shù)的等差數(shù)列的公差為4，其首項的平方與其余各項之和不超過100，這樣的數(shù)列至多有

8

項．

Answer 1

分析：設a₁，a₂…，a_n是公差為4的等差數(shù)列，則a₁²+a₂+a₃+…+a_n≤100，由此能夠推導出7n²-6n-401≤0，由此能求出這樣的數(shù)列共有8項．

解答：解：設a₁，a₂…，a_n是公差為4的等差數(shù)列，
則a₁²+a₂+a₃+…+a_n≤100，
即a12+

(a1+4)+[a1+4(n-1)]

2

•(n-1)≤100，
a₁²+（n-1）a₁+（2n²-2n-100）≤0，
因此，7n²-6n-401≤0，
解得 n₁≤n≤n₂，
其中n₁=

1

7

（3-

2816

）＜0，8＜n₂=

3+ 2816

7

＜9，
所以自然數(shù)n的最大值為8．故這樣的數(shù)列至多有8項．
故答案為：8．

點評：本題考查數(shù)列的求和的應用，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．