Question

各項(xiàng)為實(shí)數(shù)的等差數(shù)列的公差為4，其首項(xiàng)的平方與其余各項(xiàng)之和不超過100，這樣的數(shù)列至多有

8

項(xiàng)．

Answer 1

分析：設(shè)a₁，a₂…，a_n是公差為4的等差數(shù)列，則a₁²+a₂+a₃+…+a_n≤100，由此能夠推導(dǎo)出7n²-6n-401≤0，由此能求出這樣的數(shù)列共有8項(xiàng)．

解答：解：設(shè)a₁，a₂…，a_n是公差為4的等差數(shù)列，
則a₁²+a₂+a₃+…+a_n≤100，
即a12+

(a1+4)+[a1+4(n-1)]

2

•(n-1)≤100，
a₁²+（n-1）a₁+（2n²-2n-100）≤0，
因此，7n²-6n-401≤0，
解得 n₁≤n≤n₂，
其中n₁=

1

7

（3-

2816

）＜0，8＜n₂=

3+ 2816

7

＜9，
所以自然數(shù)n的最大值為8．故這樣的數(shù)列至多有8項(xiàng)．
故答案為：8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．