Question

已知函數(shù)有如下性質：如果常數(shù)a＞0，那么該函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．
（1）如果函數(shù)在（0，4]上是減函數(shù)，在[4，+∞）上是增函數(shù)，求b的值．
（2）設常數(shù)c∈[1，4]，求函數(shù)的最大值和最小值；
（3）當n是正整數(shù)時，研究函數(shù)的單調性，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題設條件知=4，由此可知b=4．
（2）由∈[1，2]，知當x=時，函數(shù)f（x）=x+取得最小值2．再由c的取值判斷函數(shù)的最大值和最小值．
（3）設0＜x₁＜x₂，g（x₂）-g（x₁）=．由此入手進行單調性的討論．
解答：解：（1）由已知得=4，
∴b=4．
（2）∵c∈[1，4]，
∴∈[1，2]，
于是，當x=時，函數(shù)f（x）=x+取得最小值2．
f（1）-f（2）=，
當1≤c≤2時，函數(shù)f（x）的最大值是f（2）=2+；
當2≤c≤4時，函數(shù)f（x）的最大值是f（1）=1+c．
（3）設0＜x₁＜x₂，g（x₂）-g（x₁）
=．
當＜x₁＜x₂時，g（x₂）＞g（x₁），函數(shù)g（x）在[，+∞）上是增函數(shù)；
當0＜x₁＜x₂＜時，g（x₂）＞g（x₁），函數(shù)g（x）在（0，]上是減函數(shù)．
當n是奇數(shù)時，g（x）是奇函數(shù)，
函數(shù)g（x）在（-∞，-]上是增函數(shù)，在[-，0）上是減函數(shù)．
當n是偶數(shù)時，g（x）是偶函數(shù)，
函數(shù)g（x）在（-∞，-）上是減函數(shù)，在[-，0]上是增函數(shù)．
點評：本題考查函數(shù)的性質和應用，解題要認真審題，仔細求解．