Question

數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且

1

an+1

+

1

an

=2n+1，（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）猜想數(shù)列{a_n}的通項公式并用數(shù)學歸納法證明．

Answer 1

考點：數(shù)學歸納法,數(shù)列遞推式

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：（Ⅰ）由題意可得，由a₁的值，可求得a₂，再由a₂的值求 a₃，再由a₃ 的值求出a₄的值．
（Ⅱ）猜想an=

1

n2

，檢驗n=1時等式成立，假設n=k時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立．

解答： 解：（Ⅰ）a₁=1，且

1

an+1

+

1

an

=2n+1，
∴

1

an+1

=-

1

an

+2n+1，
∴

1

a2

=-

1

a1

+2×1+1
∴a2=

1

4

，a3=

1

9

，a4=

1

16

…（2分）
（Ⅱ）猜想an=

1

n2

，（n∈N^*）…（2分）
證明：①當n=1時，左邊=a₁，右邊=

1

12

=1，猜測成立；
②假設當n=k（k∈N^*）時有ak=

1

k2

成立
則當n=k+1時，

1

ak+1

=-

1

ak

+2k+1=-k+2k+1=k+1，∴ak+1=

1

(k+1)2

．故猜測也成立．
由①②可得對一切n∈N^*，數(shù)列{a_n}的通項公式為an=

1

n2

（n∈N^*）…（4分）

點評：本題考查數(shù)列的遞推公式，用數(shù)學歸納法證明等式成立．證明當n=k+1時命題也成立，是解題的難點．