Question

設(shè)f（x）=

ex

1+ax2

，其中a為正實(shí)數(shù)．
（1）求f（x）在x=0處的切線方程；
（2）若f（x）為R上的單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到在x=0處的導(dǎo)數(shù)值，再求出f（0），然后直接寫出f（x）在x=0處的切線方程；
（2）若f（x）為R上的單調(diào)函數(shù)，則f′（x）在R上不變號，即可求a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=

ex

1+ax2

，
∴f′（x）=e^x•

1+ax2-2ax

(1+ax2)2

，
∴f′（0）=1，
∵f（0）=1，
∴f（x）在x=0處的切線方程為y=x+1；
（2）∵f（x）為R上的單調(diào)函數(shù)，
∴f′（x）在R上不變號，
∴a＞0且ax2-2ax+1≥0在R上恒成立，
∴△=4a²-4a≤0，
∴0＜a≤1．

點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，考查函數(shù)的單調(diào)性，曲線上某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，就是曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率，是中檔題．