Question

如圖，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁A⊥底面ABCD，∠BAD=90°，AD∥BC，且A₁A=AD=2BC=2，AB=1．點E在棱AB上，平面A₁EC與棱C₁D₁相交于點F．
（Ⅰ）求證：A₁F∥平面B₁CE； 
（Ⅱ）求證：AC⊥平面CDD₁C₁；
（Ⅲ）寫出三棱錐B₁-A₁EF體積的取值范圍．（結(jié)論不要求證明）

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明A₁F∥平面B₁CE； 
（Ⅱ）根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明AC⊥平面CDD₁C₁；
（Ⅲ）根據(jù)三棱錐的體積公式即可得到結(jié)論．

解答： （Ⅰ）證明：因為ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱柱，
所以平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁．
又因為平面ABCD∩平面A₁ECF=EC，
平面A₁B₁C₁D₁∩平面A₁ECF=A₁F，
所以 A₁F∥CE．  …（3分）
又 A₁F?平面B₁CE，CE?平面B₁CE，
所以 A₁F∥平面B₁CE．…（6分）
（Ⅱ）證明：在四邊形ABCD中，
因為∠BAD=90°，AD∥BC，且AD=2BC，AD=2，AB=1，
所以 AC²=1²+1²=2，CD²=1²+1²=2．
所以 AC²+CD²=AD²，
所以∠ACD=90°，即AC⊥CD．…（7分）
因為 A₁A⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
所以 A₁A⊥AC．
因為在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁A∥C₁C，
所以 C₁C⊥AC．…（9分）
又因為 CD，C₁C?平面CDD₁C₁，CD∩C₁C=C，
所以 AC⊥平面CDD₁C₁．…（11分）
（Ⅲ）解：三棱錐B₁-A₁EF的體積的取值范圍是[

1

3

，

2

3

]．…（14分）

點評：本題主要考查空間直線和平面平行和垂直的判定，根據(jù)相應(yīng)的判定定理是解決本題的關(guān)鍵．