Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax²，a為常數(shù)．
（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)x₁、x₂，試證明：x₁x₂＞e．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,函數(shù)的零點(diǎn),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,不等式的證明

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的定義域，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)a≤0時(shí)，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；a＞0時(shí)，求出極值點(diǎn)，然后通過(guò)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，判斷函數(shù)的單調(diào)性．
（Ⅱ）設(shè)x₁＞x₂，求出a=

lnx1-lnx2

x12-x22

，利用分析法證明x₁x₂＞e，轉(zhuǎn)化為證明：ln

x1

x2

＞

x12-x22

x12+x22

（x₁＞x₂＞0），通過(guò)令

x1

x2

=t，則t＞1，構(gòu)造設(shè)g(t)=lnt-

t2-1

t2+1

=lnt+

2

t2+1

-1（t＞1），利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最小值利用單調(diào)性證明即可．

解答： （本小題滿分13分） 
解：（Ⅰ）定義域?yàn)椋?，+∞），f′(x)=

1

x

-2ax=

1-2ax2

x

，…（2分）
當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；  …（4分）
當(dāng)a＞0時(shí)，由f'（x）=0，得x=

1

2a

=

2a

2a

，
當(dāng)0＜x＜

2a

2a

時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x＞

2a

2a

時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．…（6分）
（Ⅱ）證明：設(shè)x₁＞x₂，
∵lnx1-ax12=0，lnx2-ax22=0，
∴lnx1+lnx2=ax12+ax22，lnx1-lnx2=ax12-ax22，
則a=

lnx1-lnx2

x12-x22

，
欲證明x₁x₂＞e，即證lnx₁+lnx₂＞1，
因?yàn)?span id="ndhtxxb" class="MathJye">lnx1+lnx2=a(x12+x22)，
∴即證a＞

1

x12+x22

，
∴原命題等價(jià)于證明

lnx1-lnx2

x12-x22

＞

1

x12+x22

，
即證：ln

x1

x2

＞

x12-x22

x12+x22

（x₁＞x₂＞0），
令

x1

x2

=t，則t＞1，
設(shè)g(t)=lnt-

t2-1

t2+1

=lnt+

2

t2+1

-1（t＞1），
∴g′(t)=

1

t

-

4t

(t2+1)2

=

(t2-1)2

t(t2+1)2

≥0，
∴g（t）在（1，+∞）單調(diào)遞增，又因?yàn)間（1）=0，
∴g（t）＞g（1）=0，
∴lnt＞

t2-1

t2+1

，所以x₁x₂＞e．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的最小值以及函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，構(gòu)造法分析法證明不等式，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．