Question

已知函數(shù)f（x）＝ax＋x2－xlna（a＞0，a≠1）．

（1）當a＞1時，求證：函數(shù)f（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞增；

（2）若函數(shù)y＝|f（x）－t|－1有三個零點，求t的值；

（3）若存在x1，x2∈[－1，1]，使得|f（x1）－f（x2）|≥e－1，試求a的取值范圍．

 

Answer 1

（1）見解析；（2）t＝2；（3）

【解析】試題分析：（1）通過f '（x）≥0（a＞0）恒成立可證；（2）要使得函數(shù)y＝|f（x）－t|－1有三個零點，只需其極大值大于0，而極小值小于0即可；（3）要滿足題意，只需在x∈[－1，1]時函數(shù)的最大值與最小值之差不小于e－1即可.

解析：（1）

由于，故當時，，所以，

故函數(shù)在上單調(diào)遞增． 4分

（2）當時，因為，且在R上單調(diào)遞增，

故有唯一解．

所以的變化情況如下表所示：

x		0
	－	0	＋
	遞減	極小值	遞增

 

又函數(shù)有三個零點，所以方程有三個根，

而，所以，解得． 10分

（3）因為存在，使得，

所以當時，．

由（2）知，在上遞減，在上遞增，

所以當時，．

而，

記，因為（當時取等號），

所以在上單調(diào)遞增．

而，故當時，；當時，．即當時，；

當時，．

①當時，由；

②當時，由．

綜上可知，所求的取值范圍為． 14分

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性，零點，極值，不等式