Question

已知⊙F₁：(x+

3

)2+y2=16，F2(

3

，0)，在⊙F₁上取點P，連接PF₂，作出線段PF₂的垂直平分線交PF₁于M，當(dāng)點P在⊙F₁上運動時M形成曲線C．（如圖）
（1）求曲線C的軌跡方程．
（2）過點F₂的直線l交曲線C于R，T兩點，滿足|RT|=

3

2

，求直線l的方程．
（3）點Q在曲線C上，且滿足∠F1QF2=

π

3

，求S△F1F2Q．

Answer 1

分析：（1）由題意有|PM|=|F₂M|從而有|MF₁|+|MF₂|=|PF₁|=4，根據(jù)橢圓的定義得點M的軌跡是以F₁、F₂為焦點的橢圓．再寫出其方程即可；
（2）設(shè)l的方程為y=k(x-

3

)，將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用線段的比例關(guān)系即可求得k值，從而解決問題．
（3）根據(jù)三角形中的余弦定理可得12=|QF₁|²+|QF₂|²-|QF₁|•|QF₂|而|QF₁|+|QF₂|=4，從而得出 |QF1|•|QF2|=

4

3

最后利用三角形的面積公式求解即得．

解答：解：（1）由題意有|PM|=|F₂M|
∴|MF₁|+|MF₂|=|PF₁|=4
∴點M的軌跡是以F₁、F₂為焦點的橢圓．
其方程為

x2

4

+y2=1
（2）設(shè)l的方程為y=k(x-

3

)，
（若l的斜率不存在，則R(0，

1

2

)，T(0，-

1

2

)，∴|RT|=1，不合題意）
代入x²+4y²-4=0整理有(1+4k2)x2-8

3

k2x+12k2-4=0
設(shè)R（x₁，y₁），T（x₂，y₂）
橢圓右準線方程為：x=

4

3

=

4

3

3

，離心率e=

3

2

．
過R、T作右準線的垂線，設(shè)垂足分別為R₂、T₂，則|RT|=|RF2|+|TF2|=

3

2

(|RR2|+|TT2|)=

3

2

(

4 3

3

-x1+

4 3

3

-x2)
=

3

2

×

8 3

3

-

3

2

(x1+x2)=4-

3

2

(x1+x2)=

3

2

∴

3

2

(x1+x2)=

5

2

即

3

•

8 3 k2

1+4k2

=5
解之有k2=

5

4

，k=±

2

2

∴l(xiāng)的方程為y=±

5

2

(x-

3

)
（3）|QF₁|+|QF₂|=4|F1F2|2=|QF1|2+|QF2|2-2|QF1|•|QF2|•cos

π

3

∴12=|QF₁|²+|QF₂|²-|QF₁|•|QF₂|
而|QF₁|+|QF₂|=4，
∴|QF₁|²+|QF₂|²+2|QF₁|•|QF₂|=16
∴12=16-2|QF₁|•|QF₂|-|QF₁|•|QF₂|
∴|QF1|•|QF2|=

4

3

∴S_△F1F2Q=

1

2

|QF1|•|QF2|•sin

π

3

=

1

2

×

4

3

×

3

2

=

3

3

．

點評：本小題主要考查橢圓的定義、直線與圓錐曲線的綜合問題、直線的方程等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、方程思想．屬于中檔題．