Question

已知點(diǎn)E（2，1）和圓O：x²+y²=16．
（Ⅰ）過點(diǎn)E的直線l被圓O所截得的弦長為4

3

，求直線l的方程；
（Ⅱ）試探究是否存在這樣的點(diǎn)M：M是圓O內(nèi)部的整點(diǎn)（平面內(nèi)橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)），且△OEM的面積S_△OEM=2？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：直線與圓

分析：（Ⅰ）分類討論，設(shè)出直線方程，利用直線l被圓O所截得的弦長，求出斜率，即可得出直線的方程；
（Ⅱ）連結(jié)OE，點(diǎn)A（-4，0），B（4，0）滿足S_△OEA=S_△OEB=2，分別過A、B作直線OE的兩條平行線l₁、l₂，利用M是圓O內(nèi)部的整點(diǎn)，即可求得結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為x=2，滿足直線l被圓O所截得的弦長為4

3

；
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為y-1=k（x-2），
即kx-y-2k+1=0．
∵過點(diǎn)E的直線l被圓O所截得的弦長為4

3

，
∴圓心到直線的距離為2，∴

|-2k+1|

k2+1

=2，
∴k=-

3

4

，∴直線的方程為3x+4y-10=0．
綜上，所求方程為：x=2或3x+4y-10=0．
（Ⅱ）連結(jié)OE，點(diǎn)A（-4，0），B（4，0）滿足S_△OEA=S_△OEB=2，分別過A、B作直線OE的兩條平行線l₁、l₂．
∵kOE=

1

2

，∴直線l₁、l₂的方程分別為：y=

1

2

(x+4)、y=

1

2

(x-4)
設(shè)點(diǎn)M（x，y）（x，y∈Z），則x²+y²＜16．
分別解

x2+y2＜16 y= 1 2 (x+4)

與

x2+y2＜16 y= 1 2 (x-4)

，得-4＜x＜2

2

5

與-2

2

5

＜x＜4
∵x，y∈Z，∴x為偶數(shù)，在(-4，2

2

5

)上x=-2，0，2對應(yīng)的y=1，2，3；
在(-2

2

5

，4)上x=-2，0，2，對應(yīng)的y=-3，-2，-1，
∴滿足條件的點(diǎn)M存在，共有6個，它們的坐標(biāo)分別為：（-2，1），（0，2），（2，3），（-2，-3），（0，-2），（2，-1）．

點(diǎn)評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查存在性問題的研究，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查分類討論是數(shù)學(xué)思想，有一定的難度．