Question

【題目】已知是拋物線的焦點，點是拋物線上一點，且，直線過定點（4，0），與拋物線交于兩點，點在直線上的射影是.

（1）求的值；

（2）若，且，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據拋物線上的點到拋物線焦點的距離等于該點到拋物線準線的距離求解的值，進而根據點在拋物線上求解的值；（2）聯立直線與拋物線的方程得到一元二次方程，利用韋達定理結合兩直線垂直或線段的長度的關系求解參數的值，進而確定直線方程.

解：（1）由得，所以，

將代入，得.

（2）解法一：因為，由（1）知點，

拋物線的方程為，

設直線的方程是，

由得，

設，

則，

因為，所以，

所以，且，

所以，

且，

由，

得，

即，

，

解得（舍去）或，

所以直線的方程是，

即.

解法二：因為，由（1）知點，

拋物線的方程為，

設直線的方程是，

由得，

設，

則，

由

解得點的縱坐標是，

，

，

因為，

所以

，

化簡得，

解得（舍去）或，

所以直線的方程是，

即